Z-Skoru Nasıl Hesaplanır

Bir z-skoru, bir değerin ortalamadan standart sapma cinsinden ne kadar uzakta olduğunu gösterir. Bu yüzden, yalnızca ham sayıya bakmak yerine bir puanı grubun geri kalanıyla karşılaştırmak istediğinizde kullanışlıdır.

Temel formül şudur:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

burada $x$ değer, $\mu$ ortalama ve $\sigma$ standart sapmadır.

Eğer $z$ pozitifse, değer ortalamanın üzerindedir. Eğer $z$ negatifse, değer ortalamanın altındadır. Eğer $z = 0$ ise, değer tam olarak ortalamadadır.

Z-Skoru Nasıl Hesaplanır

Şu adımları izleyin:

1. $x$ değeriyle başlayın.
2. Ortalamayı çıkarın.
3. Standart sapmaya bölün.

Hesaplamanın yaptığı şey aslında sadece şudur: ortalamadan olan ham uzaklığı standartlaştırılmış bir uzaklığa dönüştürmek.

Formül Sezgisel Olarak Ne Anlama Gelir

Pay kısmındaki $x - \mu$, değerin merkezden ne kadar uzakta olduğunu gösterir. Paydadaki $\sigma$ ise bu uzaklığı verinin tipik yayılımına göre yeniden ölçeklendirir.

Yani bir z-skoru sadece “bu puan ortalamanın 14 puan üstünde” demez. Bu 14 puanın, o veri kümesi için küçük mü yoksa büyük mü bir fark olduğunu da söyler.

Çözümlü Örnek

Bir sınav puanının $84$, sınıf ortalamasının $70$ ve standart sapmanın $7$ olduğunu varsayalım.

Bu sayıları formülde yerine koyun:

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

Önce çıkarın:

$$84 - 70 = 14$$

Sonra bölün:

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

Z-skoru $2$ olur. Bu, puanın ortalamanın $2$ standart sapma üzerinde olduğu anlamına gelir.

Cevabı Okumanın Hızlı Bir Yolu

• $z = 1$, ortalamanın bir standart sapma üzerinde demektir.
• $z = -1.5$, ortalamanın bir buçuk standart sapma altında demektir.
• $|z| = 3$ gibi daha büyük bir mutlak değer, değerin ortalamadan görece uzak olduğunu gösterir.

Bu yorum yalnızca kullandığınız ortalama ve standart sapmaya göre geçerlidir. Bunlar değişirse, z-skoru da değişir.

Yaygın Hatalar

Yaygın hatalardan biri, standart sapma yerine varyansa bölmektir. Z-skorunda varyans değil, standart sapma kullanılır.

Bir başka hata da işareti göz ardı etmektir. $-2$ olan bir z-skoru, $2$ ile aynı değildir. İlki ortalamanın altındadır, ikincisi ise üstündedir.

Farklı gruplardan gelen verileri karıştırmak da kolaydır. Ortalama veya standart sapma değişirse, bir puanın bir sınıftaki z-skoru ile başka bir sınıftaki z-skoru farklı olabilir.

İnsanlar Z-Skorlarını Ne Zaman Kullanır

Z-skorları; farklı ölçeklerdeki değerleri karşılaştırmak, alışılmadık derecede yüksek ya da düşük gözlemleri fark etmek veya ham veriyi normal dağılım modeliyle ilişkilendirmek istediğinizde yararlıdır.

Bu son kullanım için bir koşul vardır: bir z-skorunu olasılığa dönüştürmek, en çok normal model uygun olduğunda ya da soru açıkça böyle bir model kullanmanızı söylediğinde anlamlıdır.

Anakitle ve Örneklem Değerleri

Birçok istatistik formülünde z-skoru, anakitle sembolleriyle yazılır:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Elinizde yalnızca örneklem ortalaması $\bar{x}$ ve örneklem standart sapması $s$ varsa, insanlar çoğu zaman standardizasyonu şu şekilde yapar:

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

Hesaplama adımı aynıdır, ancak yorum bu değerlerin tüm anakitleyi mi yoksa yalnızca bir örneklemi mi tanımladığına bağlıdır.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

Herhangi bir değer, ortalama ve standart sapma seçin; sonra z-skorunu hesaplayın ve sonucu sözcüklerle açıklayın. Faydalı bir sonraki örnek isterseniz, z-skorunun negatif çıktığı benzer bir soruyu çözün ve yorumunuzun hâlâ işaretle uyumlu olup olmadığını kontrol edin.