Binom Dağılımı — Formül, Koşullar ve Örnek

Binom dağılımı, $n$ denemede tam olarak $k$ başarı elde etme olasılığını verir. Bunu yalnızca, ilgilendiğiniz olay için her denemede iki sonuç varsa, denemeler bağımsızsa ve başarı olasılığı her seferinde aynı kalıyorsa kullanın.

Bu koşullardan biri sağlanmazsa, hesaplama doğru görünebilir ama modelin kendisi yanlış olur.

Binom dağılımı ne anlama gelir?

Aynı tür denemeyi $n$ kez tekrarladığınızı düşünün. Her denemede bir sonucu başarı, diğerini başarısızlık olarak adlandırırsınız.

Her denemede başarı olasılığı $p$ ise, başarı sayısını gösteren rassal değişken $X$ binom dağılımına sahip olabilir.

Bunu sıkça şu şekilde görürsünüz:

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Bu gösterim şu anlama gelir:

• $n$ deneme sayısıdır
• $p$ her denemedeki başarı olasılığıdır
• $X$ kaç başarı gerçekleştiğini sayar

Bu bir sayma modelidir. Hangi denemenin başarılı olduğunu sormaz. Toplamda kaç başarı olduğunu sorar.

Binom dağılımı formülü

Tam olarak $k$ başarı için olasılık şöyledir:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Her parçanın bir görevi vardır:

• $\binom{n}{k}$, $k$ başarının $n$ deneme içine kaç farklı şekilde yerleşebileceğini sayar
• $p^k$, bu $k$ başarının olasılığını verir
• $(1-p)^{n-k}$, kalan başarısızlıkların olasılığını verir

Formül $k=0,1,2,\dots,n$ için geçerlidir.

Binom formülünü ne zaman kullanabilirsiniz?

Binom modeli yalnızca şu koşulların hepsi doğruysa kullanılmalıdır:

Sabit sayıda deneme

Kaç deneme yapılacağını önceden bilirsiniz. Örneğin, bir parayı $8$ kez atmak bu koşulu sağlar.

Her denemede iki sonuç

İzlediğiniz olay açısından her deneme başarı ya da başarısızlık olarak sınıflandırılabilmelidir. Bir zar atışı da, başarıyı örneğin "6 gelmesi" olarak tanımlarsanız bu koşula uyabilir.

Bağımsız denemeler

Bir deneme, sonraki denemenin olasılığını değiştirmemelidir. Yerine koyarak örnekleme bu koşula uyabilir. Küçük bir gruptan yerine koymadan örnekleme ise genellikle uymaz.

Sabit başarı olasılığı

$p$ değeri denemeden denemeye aynı kalmalıdır. Olasılık her seferinde değişiyorsa, basit bir binom modeli uygun değildir.

Çözümlü örnek: 5 atışta tam 3 tura

Yanlı bir paranın tura gelme olasılığının $0.6$ olduğunu varsayalım. Bu parayı $5$ kez atıyorsunuz. Tam olarak $3$ tura gelme olasılığı nedir?

Tura gelmesini başarı olayı olarak alalım. O hâlde

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Formülü kullanalım:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Şimdi her parçayı hesaplayalım:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Dolayısıyla

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

Tam olarak $3$ tura gelme olasılığı $0.3456$, yani $34.56\%$'tir.

Burada binom modeli neden geçerlidir? Deneyde sabit bir $n$ vardır, her atışta iki sonuç bulunur, denemeler bağımsızdır ve her atışta olasılık aynı, yani $p=0.6$'dır.

"En az bir" için hızlı bir kısa yol

"En az bir başarı" gibi sorularda, birçok terimi toplamak yerine tümleyeni kullanmak genellikle daha hızlıdır.

Örneğin, $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$ ise

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Bu işe yarar çünkü "en az bir başarı", "sıfır başarı" olayının tümleyenidir.

Binom dağılımı sorularında yaygın hatalar

Koşulları göz ardı etmek

Yaygın bir hata, denemeler bağımsız değilken binom formülünü kullanmaktır. Klasik bir örnek, küçük bir kümeden yerine koymadan seçim yapıp yine de $p$ hiç değişmiyormuş gibi davranmaktır.

"Başarı"nın ne anlama geldiğini yanlış okumak

Bir binom probleminde başarı, iyi bir şey olmak zorunda değildir. Yalnızca saymayı seçtiğiniz sonucu ifade eder.

"Tam olarak", "en az" ve "en çok" ifadelerini karıştırmak

Bu ifadeler aynı deneyde bile farklı hesaplamalara yol açar. "Tam olarak $3$" tek bir terim demektir, "en az $3$" birkaç terim demektir ve "en çok $3$" farklı bir toplam gerektirir.

Binom dağılımı nerelerde kullanılır?

Binom dağılımı; kusurlu-kusursuz, geçti-kaldı, tıkladı-tıklamadı ya da tura-yazı gibi evet-hayır türü tekrar eden sonuçları sayarken ortaya çıkar.

Kalite kontrolde, uygun varsayımlar altında anket örneklemesinde, güvenilirlik sorularında ve istatistikteki temel olasılık modellerinde kullanışlıdır.

Benzer bir soru deneyin

$p=0.4$ olan bir parayı $8$ kez attığınız kendi örneğinizi deneyin. Önce $P(X=2)$'yi bulun, sonra tümleyeni kullanarak $P(X \ge 1)$'i bulun. İsterseniz başka bir durumda, denemeler artık bağımsız olmadığında neyin değiştiğini karşılaştırın.