Laplace Dönüşümü — Tablo, Özellikler ve Tersi

Laplace dönüşümü, zaman alanındaki $f(t)$ fonksiyonunu, üzerinde çalışılması çoğu zaman daha kolay olan yeni bir $F(s)$ fonksiyonuna dönüştürür. Giriş düzeyindeki bir derste temel görevi basittir: başlangıç koşullu diferansiyel denklemleri cebir problemlerine çevirmek, ardından $t$ değişkenine geri dönmek için ters Laplace dönüşümünü kullanmak.

Çoğu diferansiyel denklemler dersinde kullanılan tek taraflı Laplace dönüşümünün tanımı şöyledir:

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

integral yakınsak olduğunda.

Eğer $\operatorname{Re}(s)$ yeterince büyükse, $e^{-st}$ çarpanı büyük $t$ davranışını bastırır ve uygunsuz integral sonlu kalabilir. Bu yakınsaklık koşulu dönüşümün bir parçasıdır; sonradan eklenen küçük bir ayrıntı değildir.

Laplace dönüşümü ne işe yarar?

Dönüşüm, problemin anlamını değiştirmez. Problemi, türev almanın cebire dönüştüğü bir biçimde yeniden ifade eder.

Bu yüzden yöntem özellikle lineer başlangıç değer problemlerinde kullanışlıdır. Başlangıç koşulunu korursunuz, ama denklemin kendisi genellikle çözülmesi daha kolay bir hale gelir.

Laplace dönüşümü tablosu: yaygın eşleşmeler

Bunlar öğrencilerin en sık kullandığı tablo girişleridir. Sağ sütundaki koşul önemlidir, çünkü dönüşümün hangi durumda var olduğunu söyler.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Geçerli olduğu durum
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Yalnızca reel değerli sınıf örnekleriyle çalışıyorsanız, bu koşullar çoğu zaman $s > 0$ veya $s > a$ gibi eşitsizlikler olarak yazılır. Daha genel olarak dönüşüm, karmaşık $s$ düzleminin bir bölgesinde tanımlıdır.

İşin büyük kısmını yapan Laplace dönüşümü özellikleri

Uzun bir listeye ihtiyacınız yok. Bu üç özellik, ilk ders düzeyindeki problemlerin büyük bir bölümünü çözer.

Doğrusallık

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Bu, bir toplamı daha basit dönüşümlere ayırmanızı sağlar.

Türev kuralı

Eğer $f$, her sonlu aralıkta parçalı sürekli ise ve üstel mertebedense, o zaman

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Bu, başlangıç değer problemlerini çözerken temel adımdır. Başlangıç değeri sonradan elle eklenmek yerine otomatik olarak ortaya çıkar.

Üstel kaydırma

Eğer $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ ise ve her iki dönüşüm de varsa, o zaman

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Bu yüzden birçok tablo girişi, $s$ içinde basit bir kaydırmayla birbiriyle ilişkilidir.

Ters Laplace dönüşümü: ne anlama gelir?

Ters Laplace dönüşümü, $F(s)$ ile başlar ve zaman alanındaki $f(t)$ fonksiyonunu geri elde eder.

Kuramsal olarak biçimsel bir ters alma formülü vardır. Ancak çoğu sınıf probleminde bu formülü doğrudan hesaplamazsınız. Bunun yerine $F(s)$ ifadesini, çoğu zaman cebir veya kısmi kesirlere ayırma kullanarak bilinen tablo biçimlerine dönüştürür, sonra cevabı tablodan okursunuz.

Çözümlü örnek: bir başlangıç değer problemini Laplace dönüşümüyle çözme

Şunu ele alalım:

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Şöyle tanımlayalım:

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Denklemin her iki tarafının Laplace dönüşümünü alalım:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Türev kuralını ve $1$ için tablo girişini kullanalım:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

$y(0) = 0$ olduğundan,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Dolayısıyla

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Şimdi bunu daha basit kesirlere ayıralım:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Ters Laplace dönüşümünü terim terim alalım:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Buna göre,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Bu örnek, Laplace dönüşümüyle çözüm sürecinin tamamını gösterir: dönüştür, $s$ cinsinden çöz, sonra ters dönüşümü al. Bir diferansiyel denklem cebir problemine dönüştü ve başlangıç koşulu en baştan itibaren hesabın içine yerleşti.

Laplace dönüşümünde sık yapılan hatalar

Yakınsaklık koşulunu unutmak

Bir tablo girişi yalnızca tanımlayıcı integralin yakınsak olduğu yerde geçerlidir. Bu koşulu göz ardı ederseniz, cevabın bir kısmını eksik bırakmış olursunuz.

$\mathcal{L}\{f'(t)\}$ içinde başlangıç değerini atlamak

$-f(0)$ terimini gözden kaçırmak kolaydır. Bunu yazmazsanız, dönüştürülmüş denklem genellikle yanlış problemi çözer.

Ters dönüşümü çok erken almaya çalışmak

Eğer $F(s)$ rasyonel bir ifadeyse, önce sadeleştirmek çoğu zaman daha kolaydır. Kısmi kesirlere ayırma, ters dönüşümü almadan önce sık kullanılan bir adımdır.

Laplace dönüşümü ne zaman kullanılır?

Laplace dönüşümü özellikle başlangıç koşullu lineer adi diferansiyel denklemler için çok kullanışlıdır. Sınıfta en yaygın kullanım alanı budur.

Ayrıca devre analizi, kontrol sistemleri, sinyal modelleme ve üstel tepkilerin ile zaman alanı girdilerinin sistemli biçimde ele alınması gereken her ortamda karşınıza çıkar.

Kendi sürümünüzü deneyin

Aynı yöntemi şu denklem üzerinde deneyin:

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Denklemi dönüştürün, $Y(s)$ için çözün ve sonra ters dönüşümü alın. Hızlı bir kontrol yapmak isterseniz, bulduğunuz son $y(t)$ sonucunu başlangıç koşuluyla ve diferansiyel denklemle $t=0$ noktasında karşılaştırın.