Transformée de Laplace — Tableau, propriétés et inverse

La transformée de Laplace convertit une fonction du temps $f(t)$ en une nouvelle fonction $F(s)$, souvent plus facile à manipuler. Dans un cours d’introduction, son rôle principal est simple : transformer des équations différentielles avec conditions initiales en problèmes algébriques, puis utiliser la transformée de Laplace inverse pour revenir à $t$.

Pour la transformée de Laplace unilatérale utilisée dans la plupart des cours d’équations différentielles, la définition est

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

lorsque l’intégrale converge.

Si $\operatorname{Re}(s)$ est assez grand, le facteur $e^{-st}$ atténue le comportement pour les grandes valeurs de $t$, et l’intégrale impropre peut rester finie. Cette condition de convergence fait partie de la transformée, ce n’est pas un simple détail technique.

À quoi sert la transformée de Laplace

La transformée ne change pas le sens du problème. Elle reformule le problème sous une forme où la dérivation devient de l’algèbre.

C’est pourquoi la méthode est particulièrement utile pour les problèmes linéaires à valeur initiale. On conserve la condition initiale, mais l’équation elle-même devient généralement plus facile à résoudre.

Tableau de transformées de Laplace : paires usuelles

Voici les entrées du tableau que les étudiants utilisent le plus souvent. La condition dans la colonne de droite est importante, car elle indique où la transformée existe.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Valide lorsque
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Si vous travaillez uniquement avec des exemples de cours à valeurs réelles, ces conditions apparaissent souvent sous la forme d’inégalités comme $s > 0$ ou $s > a$. Plus généralement, la transformée est définie sur une région du plan complexe des $s$.

Propriétés de la transformée de Laplace les plus utiles

Vous n’avez pas besoin d’une longue liste. Ces trois propriétés suffisent pour une grande partie des problèmes d’un premier cours.

Linéarité

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Cela permet de décomposer une somme en transformées plus simples.

Règle de dérivation

Si $f$ est continue par morceaux sur tout intervalle fini et d’ordre exponentiel, alors

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

C’est l’étape clé pour résoudre les problèmes à valeur initiale. La valeur initiale apparaît automatiquement au lieu d’être ajoutée à la main plus tard.

Décalage exponentiel

Si $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ et que les deux transformées existent, alors

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

C’est pourquoi de nombreuses entrées du tableau sont reliées par un simple décalage en $s$.

Transformée de Laplace inverse : ce que cela signifie

La transformée de Laplace inverse part de $F(s)$ et retrouve la fonction temporelle $f(t)$.

En théorie, il existe une formule d’inversion formelle. Dans la plupart des exercices de cours, cependant, on n’évalue pas directement cette formule. On simplifie $F(s)$ en formes connues du tableau, souvent à l’aide d’algèbre ou de décomposition en fractions partielles, puis on lit la réponse dans le tableau.

Exemple corrigé : utiliser la transformée de Laplace pour résoudre un problème à valeur initiale

Considérons

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Posons

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Prenons la transformée de Laplace des deux côtés :

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Utilisons la règle de dérivation et l’entrée du tableau pour $1$ :

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Comme $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Donc

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Décomposons maintenant en fractions plus simples :

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Prenons la transformée de Laplace inverse terme à terme :

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Par conséquent,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Voilà tout le déroulement de la méthode de Laplace en un seul exemple : transformer, résoudre en $s$, puis inverser. Une équation différentielle est devenue un problème algébrique, et la condition initiale a été intégrée au calcul dès le départ.

Erreurs fréquentes avec la transformée de Laplace

Oublier la condition de convergence

Une entrée du tableau n’est valable que là où l’intégrale définissant la transformée converge. Si vous ignorez cette condition, il manque une partie de la réponse.

Oublier la valeur initiale dans $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

Le terme $-f(0)$ est facile à oublier. Si vous le laissez de côté, l’équation transformée résoudra généralement le mauvais problème.

Essayer d’inverser trop tôt

Si $F(s)$ est une expression rationnelle, il est souvent plus simple de la simplifier d’abord. La décomposition en fractions partielles est une étape courante avant de prendre la transformée inverse.

Quand utilise-t-on la transformée de Laplace ?

La transformée de Laplace est particulièrement utile pour les équations différentielles ordinaires linéaires avec conditions initiales. C’est son usage classique en cours.

On la retrouve aussi en analyse des circuits, en automatique, en modélisation des signaux et dans tout contexte où des réponses exponentielles et des entrées temporelles doivent être traitées de manière systématique.

Essayez votre propre version

Essayez la même méthode sur

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Transformez l’équation, résolvez pour $Y(s)$, puis inversez. Si vous voulez une vérification rapide, comparez votre $y(t)$ final avec la condition initiale d’origine et avec l’équation différentielle en $t=0$.