Μετασχηματισμός Laplace — Πίνακας, Ιδιότητες και Αντίστροφος

Ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει μια συνάρτηση του χρονικού πεδίου $f(t)$ σε μια νέα συνάρτηση $F(s)$, με την οποία συχνά είναι πιο εύκολο να δουλέψουμε. Σε ένα εισαγωγικό μάθημα, ο βασικός του ρόλος είναι απλός: μετατρέπει διαφορικές εξισώσεις με αρχικές συνθήκες σε αλγεβρικά προβλήματα και μετά χρησιμοποιεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace για να επιστρέψει στο $t$.

Για τον μονόπλευρο μετασχηματισμό Laplace που χρησιμοποιείται στα περισσότερα μαθήματα διαφορικών εξισώσεων, ο ορισμός είναι

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

όταν το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Αν το $\operatorname{Re}(s)$ είναι αρκετά μεγάλο, ο παράγοντας $e^{-st}$ καταστέλλει τη συμπεριφορά για μεγάλα $t$ και το ακατάλληλο ολοκλήρωμα μπορεί να παραμείνει πεπερασμένο. Αυτή η συνθήκη σύγκλισης είναι μέρος του μετασχηματισμού, όχι μια επιπλέον τεχνική λεπτομέρεια.

Σε τι βοηθά ο μετασχηματισμός Laplace

Ο μετασχηματισμός δεν αλλάζει το νόημα του προβλήματος. Απλώς το αναδιατυπώνει σε μια μορφή όπου η παραγώγιση γίνεται άλγεβρα.

Γι’ αυτό η μέθοδος είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για γραμμικά προβλήματα αρχικών τιμών. Κρατάς την αρχική συνθήκη, αλλά η ίδια η εξίσωση συνήθως γίνεται πιο εύκολη στη λύση.

Πίνακας μετασχηματισμού Laplace: συνηθισμένα ζεύγη

Αυτές είναι οι εγγραφές του πίνακα που χρησιμοποιούν πιο συχνά οι φοιτητές. Η συνθήκη στη δεξιά στήλη έχει σημασία, γιατί δείχνει πού υπάρχει ο μετασχηματισμός.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Ισχύει όταν
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Αν δουλεύεις μόνο με πραγματικές συναρτήσεις σε παραδείγματα τάξης, αυτές οι συνθήκες συχνά εμφανίζονται ως ανισότητες όπως $s > 0$ ή $s > a$. Πιο γενικά, ο μετασχηματισμός ορίζεται σε μια περιοχή του μιγαδικού επιπέδου $s$.

Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace που κάνουν το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς

Δεν χρειάζεσαι μια μεγάλη λίστα. Αυτές οι τρεις ιδιότητες καλύπτουν μεγάλο μέρος των προβλημάτων ενός πρώτου μαθήματος.

Γραμμικότητα

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Αυτό σου επιτρέπει να διασπάς ένα άθροισμα σε απλούστερους μετασχηματισμούς.

Κανόνας παραγώγου

Αν η $f$ είναι τμηματικά συνεχής σε κάθε πεπερασμένο διάστημα και εκθετικής τάξης, τότε

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Αυτό είναι το βασικό βήμα στη λύση προβλημάτων αρχικών τιμών. Η αρχική τιμή εμφανίζεται αυτόματα αντί να προστεθεί αργότερα με το χέρι.

Εκθετική μετατόπιση

Αν $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ και υπάρχουν και οι δύο μετασχηματισμοί, τότε

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Γι’ αυτό πολλές εγγραφές του πίνακα συνδέονται με μια απλή μετατόπιση στο $s$.

Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: τι σημαίνει

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ξεκινά από το $F(s)$ και ανακτά τη συνάρτηση του χρονικού πεδίου $f(t)$.

Θεωρητικά υπάρχει ένας τυπικός τύπος αντιστροφής. Στα περισσότερα προβλήματα τάξης όμως, δεν υπολογίζεις αυτόν τον τύπο άμεσα. Απλοποιείς το $F(s)$ σε γνωστές μορφές του πίνακα, συχνά με άλγεβρα ή μερικά κλάσματα, και μετά διαβάζεις την απάντηση από τον πίνακα.

Λυμένο παράδειγμα: χρήση του μετασχηματισμού Laplace για λύση προβλήματος αρχικών τιμών

Θεώρησε

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Θέσε

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Πάρε τον μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Χρησιμοποίησε τον κανόνα της παραγώγου και την εγγραφή του πίνακα για το $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Αφού $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Άρα

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Τώρα διάσπασέ το σε απλούστερα κλάσματα:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Πάρε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace όρο προς όρο:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Επομένως,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Αυτή είναι όλη η διαδικασία του μετασχηματισμού Laplace σε ένα παράδειγμα: μετασχηματισμός, λύση ως προς $s$, και μετά αντιστροφή. Μια διαφορική εξίσωση έγινε αλγεβρικό πρόβλημα και η αρχική συνθήκη ήταν ενσωματωμένη στον υπολογισμό από την αρχή.

Συνηθισμένα λάθη στον μετασχηματισμό Laplace

Να ξεχνάς τη συνθήκη σύγκλισης

Μια εγγραφή του πίνακα ισχύει μόνο εκεί όπου συγκλίνει το ορίζον ολοκλήρωμα. Αν αγνοήσεις αυτή τη συνθήκη, παραλείπεις μέρος της απάντησης.

Να παραλείπεις την αρχική τιμή στο $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

Ο όρος $-f(0)$ είναι εύκολο να σου ξεφύγει. Αν τον παραλείψεις, η μετασχηματισμένη εξίσωση συνήθως θα λύνει λάθος πρόβλημα.

Να προσπαθείς να αντιστρέψεις πολύ νωρίς

Αν το $F(s)$ είναι ρητή παράσταση, συχνά είναι πιο εύκολο να το απλοποιήσεις πρώτα. Τα μερικά κλάσματα είναι ένα συνηθισμένο βήμα πριν από τον αντίστροφο μετασχηματισμό.

Πότε χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός Laplace

Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με αρχικές συνθήκες. Αυτή είναι η τυπική χρήση του στην τάξη.

Εμφανίζεται επίσης στην ανάλυση κυκλωμάτων, στα συστήματα ελέγχου, στη μοντελοποίηση σημάτων και σε κάθε πλαίσιο όπου οι εκθετικές αποκρίσεις και οι είσοδοι στο χρονικό πεδίο πρέπει να αντιμετωπίζονται συστηματικά.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε την ίδια διαδικασία στο

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Μετασχημάτισε την εξίσωση, λύσε ως προς $Y(s)$ και μετά πάρε τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Αν θέλεις έναν γρήγορο έλεγχο, σύγκρινε το τελικό σου $y(t)$ με την αρχική συνθήκη και με τη διαφορική εξίσωση στο $t=0$.