ラプラス変換 — 変換表・性質・逆変換

ラプラス変換は、時間領域の関数 $f(t)$ を、新しい関数 $F(s)$ に変換する方法です。こちらのほうが扱いやすいことが多くあります。初学者向けの授業では、主な役割はシンプルです。初期条件付きの微分方程式を代数の問題に変え、最後に逆ラプラス変換で $t$ に戻します。

微分方程式の授業でよく使われる片側ラプラス変換の定義は、次のとおりです。

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

ただし、この積分が収束するときに限ります。

$\operatorname{Re}(s)$ が十分大きければ、$e^{-st}$ という因子が $t$ の大きいところでの振る舞いを抑えるため、この広義積分は有限に保たれることがあります。この収束条件は補足事項ではなく、ラプラス変換そのものの一部です。

ラプラス変換でできること

ラプラス変換は、問題の意味そのものを変えるわけではありません。微分を代数的な処理に置き換えやすい形へ、問題を表し直しているだけです。

そのため、この方法は線形の初期値問題で特に有効です。初期条件はそのまま保たれ、方程式自体はたいてい解きやすくなります。

ラプラス変換表：よく使う基本対応

以下は、学生が最もよく使う変換表の項目です。右端の条件は重要です。どこで変換が存在するかを示しているからです。

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	成立条件
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

実数値の基本的な例だけを扱う授業では、これらの条件は $s > 0$ や $s > a$ のような不等式で書かれることがよくあります。より一般には、変換は複素 $s$ 平面上のある領域で定義されます。

ラプラス変換の性質：まず押さえたいもの

長い一覧を覚える必要はありません。最初の授業で出てくる問題の多くは、次の3つの性質で十分対応できます。

線形性

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

この性質により、和をより簡単な変換に分けて扱えます。

微分の変換公式

$f$ が任意の有限区間で区分的連続であり、かつ指数オーダーであるなら、

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

が成り立ちます。

これは初期値問題を解くときの重要な一歩です。初期値は後から手で付け加えるのではなく、自動的に式の中に現れます。

指数シフト

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ で、両方の変換が存在するとき、

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

が成り立ちます。

このため、多くの変換表の項目は、$s$ の単純なシフトで互いに関係づけられます。

逆ラプラス変換とは何か

逆ラプラス変換は、$F(s)$ から出発して時間領域の関数 $f(t)$ を取り戻す操作です。

理論的には、形式的な逆変換公式があります。ただし、授業で扱う多くの問題では、その公式を直接計算することはほとんどありません。代わりに、$F(s)$ を既知の変換表の形に整理し、必要なら代数計算や部分分数分解を行って、表から答えを読み取ります。

例題：ラプラス変換で初期値問題を解く

次を考えます。

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

ここで

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

とおきます。

両辺にラプラス変換をとると、

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

となります。

微分の変換公式と、$1$ に対する変換表を使うと、

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

です。

$y(0) = 0$ なので、

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

したがって、

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

となります。

これをより簡単な分数に分けると、

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

です。

次に、各項ごとに逆ラプラス変換をとります。

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

よって、

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

となります。

この1つの例に、ラプラス変換の流れがすべて入っています。変換し、$s$ で解き、最後に逆変換するという手順です。微分方程式は代数の問題になり、初期条件も最初から計算の中に組み込まれています。

ラプラス変換でよくあるミス

収束条件を忘れる

変換表の各項目は、定義積分が収束する範囲でのみ有効です。この条件を無視すると、答えの一部を落としていることになります。

$\mathcal{L}\{f'(t)\}$ の初期値を落とす

$-f(0)$ の項は見落としやすい部分です。これを省くと、変換後の方程式はたいてい別の問題を解くことになります。

早すぎる逆変換

$F(s)$ が有理式なら、先に整理したほうが簡単なことがよくあります。逆変換の前に部分分数分解を行うのは典型的な手順です。

ラプラス変換はいつ使うか

ラプラス変換は、初期条件付きの線形常微分方程式で特に役立ちます。これが授業での標準的な使い方です。

さらに、回路解析、制御工学、信号モデリング、そして指数応答や時間領域入力を体系的に扱いたい場面でも用いられます。

自分でも解いてみよう

次の問題でも同じ流れを試してみてください。

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

方程式を変換し、$Y(s)$ を求め、最後に逆変換します。手早く確認したいなら、求めた $y(t)$ が元の初期条件を満たすか、また $t=0$ で微分方程式に合っているかを確かめてみてください。