Trasformata di Laplace — Tabella, Proprietà e Inversa

La trasformata di Laplace converte una funzione nel dominio del tempo $f(t)$ in una nuova funzione $F(s)$, spesso più facile da trattare. In un corso introduttivo, il suo compito principale è semplice: trasformare equazioni differenziali con condizioni iniziali in problemi algebrici, poi usare la trasformata inversa di Laplace per tornare a $t$.

Per la trasformata di Laplace unilatera usata nella maggior parte dei corsi di equazioni differenziali, la definizione è

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

quando l'integrale converge.

Se $\operatorname{Re}(s)$ è abbastanza grande, il fattore $e^{-st}$ attenua il comportamento per grandi valori di $t$ e l'integrale improprio può rimanere finito. Questa condizione di convergenza fa parte della trasformata, non è una nota secondaria.

A cosa serve la trasformata di Laplace

La trasformata non cambia il significato del problema. Lo riscrive in una forma in cui la derivazione diventa algebra.

Per questo il metodo è particolarmente utile per i problemi lineari ai valori iniziali. La condizione iniziale si conserva, ma l'equazione stessa di solito diventa più facile da risolvere.

Tabella della trasformata di Laplace: coppie comuni

Queste sono le voci della tabella che gli studenti usano più spesso. La condizione nella colonna di destra è importante perché indica dove la trasformata esiste.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Valida quando
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Se lavori solo con esempi reali da corso, queste condizioni spesso compaiono come disuguaglianze del tipo $s > 0$ oppure $s > a$. Più in generale, la trasformata è definita su una regione del piano complesso $s$.

Proprietà della trasformata di Laplace che fanno quasi tutto il lavoro

Non serve un elenco lungo. Queste tre proprietà coprono una grande parte dei problemi di un primo corso.

Linearità

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Questo permette di scomporre una somma in trasformate più semplici.

Regola della derivata

Se $f$ è continua a tratti su ogni intervallo finito ed è di ordine esponenziale, allora

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Questo è il passaggio chiave nella risoluzione dei problemi ai valori iniziali. Il valore iniziale compare automaticamente invece di essere aggiunto dopo a mano.

Traslazione esponenziale

Se $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ ed entrambe le trasformate esistono, allora

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Per questo molte voci della tabella sono collegate da una semplice traslazione in $s$.

Trasformata inversa di Laplace: che cosa significa

La trasformata inversa di Laplace parte da $F(s)$ e ricostruisce la funzione nel dominio del tempo $f(t)$.

In teoria esiste una formula formale di inversione. Nella maggior parte dei problemi di corso, però, non si calcola direttamente quella formula. Si semplifica $F(s)$ fino a ottenere forme note della tabella, spesso con passaggi algebrici o con le frazioni parziali, e poi si legge la risposta dalla tabella.

Esempio svolto: usare la trasformata di Laplace per risolvere un problema ai valori iniziali

Considera

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Poni

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Applica la trasformata di Laplace a entrambi i membri:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Usa la regola della derivata e la voce della tabella per $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Poiché $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Quindi

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Ora scomponila in frazioni più semplici:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Applica la trasformata inversa di Laplace termine per termine:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Pertanto,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Questo è l'intero procedimento della trasformata di Laplace in un solo esempio: trasformare, risolvere in $s$, poi invertire. Un'equazione differenziale è diventata un problema algebrico, e la condizione iniziale era incorporata nel calcolo fin dall'inizio.

Errori comuni con la trasformata di Laplace

Dimenticare la condizione di convergenza

Una voce della tabella è valida solo dove converge l'integrale che la definisce. Se ignori questa condizione, stai tralasciando una parte della risposta.

Omettere il valore iniziale in $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

Il termine $-f(0)$ è facile da perdere. Se lo ometti, l'equazione trasformata di solito risolve il problema sbagliato.

Cercare di invertire troppo presto

Se $F(s)$ è un'espressione razionale, spesso è più facile semplificarla prima. Le frazioni parziali sono un passaggio comune prima di applicare la trasformata inversa.

Quando si usa la trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è particolarmente utile per le equazioni differenziali ordinarie lineari con condizioni iniziali. Questo è l'uso standard nei corsi.

Compare anche nell'analisi dei circuiti, nei sistemi di controllo, nella modellazione dei segnali e in qualsiasi contesto in cui risposte esponenziali e ingressi nel dominio del tempo debbano essere trattati in modo sistematico.

Prova una tua versione

Prova lo stesso procedimento su

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Trasforma l'equazione, risolvi per $Y(s)$ e poi inverti. Se vuoi un controllo rapido, confronta la tua $y(t)$ finale con la condizione iniziale originale e con l'equazione differenziale in $t=0$.