Transformata Laplace’a — tabela, własności i transformata odwrotna

Transformata Laplace’a przekształca funkcję czasu $f(t)$ w nową funkcję $F(s)$, z którą często pracuje się łatwiej. Na kursie wprowadzającym jej główne zadanie jest proste: zamienić równania różniczkowe z warunkami początkowymi na problemy algebraiczne, a potem użyć transformaty odwrotnej Laplace’a, by wrócić do zmiennej $t$.

Dla jednostronnej transformaty Laplace’a używanej na większości zajęć z równań różniczkowych definicja ma postać

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

gdy całka jest zbieżna.

Jeśli $\operatorname{Re}(s)$ jest dostatecznie duże, czynnik $e^{-st}$ tłumi zachowanie funkcji dla dużych wartości $t$, więc całka niewłaściwa może pozostać skończona. Ten warunek zbieżności jest częścią transformaty, a nie dodatkowym drobnym dopiskiem.

Do czego przydaje się transformata Laplace’a

Transformata nie zmienia sensu problemu. Przepisuje go do postaci, w której różniczkowanie staje się algebrą.

Dlatego metoda ta jest szczególnie użyteczna w liniowych zagadnieniach początkowych. Zachowujesz warunek początkowy, ale samo równanie zwykle staje się łatwiejsze do rozwiązania.

Tabela transformaty Laplace’a: najczęstsze pary

To wpisy z tabeli, których studenci używają najczęściej. Warunek w prawej kolumnie jest ważny, bo mówi, gdzie transformata istnieje.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Obowiązuje, gdy
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Jeśli pracujesz tylko z rzeczywistymi przykładami z zajęć, te warunki często zapisuje się jako nierówności typu $s > 0$ lub $s > a$. Ogólniej transformata jest określona na pewnym obszarze zespolonej płaszczyzny $s$.

Własności transformaty Laplace’a, które wykonują większość pracy

Nie potrzebujesz długiej listy. Te trzy własności wystarczają do rozwiązania dużej części zadań z pierwszego kursu.

Liniowość

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

To pozwala rozdzielić sumę na prostsze transformaty.

Wzór na pochodną

Jeśli $f$ jest odcinkami ciągła na każdym skończonym przedziale i jest rzędu wykładniczego, to

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

To kluczowy krok przy rozwiązywaniu zagadnień początkowych. Wartość początkowa pojawia się automatycznie, zamiast być dopisywana później ręcznie.

Przesunięcie wykładnicze

Jeśli $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ i obie transformaty istnieją, to

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Dlatego wiele wpisów w tabeli jest powiązanych prostym przesunięciem w zmiennej $s$.

Transformata odwrotna Laplace’a: co oznacza

Transformata odwrotna Laplace’a zaczyna od $F(s)$ i odzyskuje funkcję czasu $f(t)$.

Teoretycznie istnieje formalny wzór odwrotny. W większości zadań na zajęciach nie oblicza się go jednak bezpośrednio. Zamiast tego upraszcza się $F(s)$ do znanych postaci z tabeli, często za pomocą przekształceń algebraicznych lub rozkładu na ułamki proste, a następnie odczytuje odpowiedź z tabeli.

Przykład rozwiązany: użycie transformaty Laplace’a do rozwiązania zagadnienia początkowego

Rozważ

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Niech

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Obliczmy transformatę Laplace’a obu stron:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Użyj wzoru na pochodną i wpisu z tabeli dla $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Ponieważ $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Zatem

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Teraz rozłóżmy to na prostsze ułamki:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Oblicz transformację odwrotną Laplace’a wyraz po wyrazie:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Wobec tego

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

To pełny schemat pracy z transformatą Laplace’a w jednym przykładzie: transformacja, rozwiązanie w zmiennej $s$, a potem transformacja odwrotna. Równanie różniczkowe stało się problemem algebraicznym, a warunek początkowy był uwzględniony w obliczeniach od samego początku.

Typowe błędy przy transformacie Laplace’a

Pomijanie warunku zbieżności

Wpis z tabeli jest poprawny tylko tam, gdzie zbiega całka definiująca. Jeśli pominiesz ten warunek, pomijasz część odpowiedzi.

Pomijanie wartości początkowej w $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

Wyraz $-f(0)$ łatwo przeoczyć. Jeśli go pominiesz, przekształcone równanie zwykle będzie opisywać niewłaściwy problem.

Zbyt wczesne odwracanie transformaty

Jeśli $F(s)$ jest wyrażeniem wymiernym, często łatwiej najpierw je uprościć. Rozkład na ułamki proste to częsty krok przed obliczeniem transformaty odwrotnej.

Kiedy używa się transformaty Laplace’a

Transformata Laplace’a jest szczególnie użyteczna przy liniowych równaniach różniczkowych zwyczajnych z warunkami początkowymi. To jej standardowe zastosowanie na zajęciach.

Pojawia się też w analizie obwodów, układach sterowania, modelowaniu sygnałów oraz wszędzie tam, gdzie trzeba systematycznie opisywać odpowiedzi wykładnicze i wymuszenia w dziedzinie czasu.

Spróbuj samodzielnie

Zastosuj ten sam schemat do równania

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Przetransformuj równanie, wyznacz $Y(s)$, a następnie wykonaj transformację odwrotną. Jeśli chcesz szybko sprawdzić wynik, porównaj końcowe $y(t)$ z początkowym warunkiem i z równaniem różniczkowym dla $t=0$.