라플라스 변환 — 표, 성질, 역변환

라플라스 변환은 시간 영역의 함수 $f(t)$를 다루기 더 쉬운 새로운 함수 $F(s)$로 바꿔 줍니다. 입문 과정에서는 주된 역할이 분명합니다. 초기조건이 있는 미분방정식을 대수 문제로 바꾸고, 그다음 역라플라스 변환으로 다시 $t$로 돌아오는 것입니다.

대부분의 미분방정식 수업에서 사용하는 단측 라플라스 변환의 정의는 다음과 같습니다.

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

적분이 수렴할 때 이렇게 정의됩니다.

$\operatorname{Re}(s)$가 충분히 크면 $e^{-st}$ 항이 큰 $t$에서의 거동을 억제하므로, 이 이상적분이 유한한 값을 가질 수 있습니다. 이 수렴 조건은 부가적인 단서가 아니라 변환 자체의 일부입니다.

라플라스 변환으로 할 수 있는 일

라플라스 변환은 문제의 의미를 바꾸지 않습니다. 미분이 대수로 바뀌는 형태로 문제를 다시 표현할 뿐입니다.

그래서 이 방법은 선형 초기값 문제에서 특히 유용합니다. 초기조건은 그대로 유지하면서, 방정식 자체는 보통 더 쉽게 풀 수 있는 형태가 됩니다.

라플라스 변환표: 자주 쓰는 대응식

아래는 학생들이 가장 자주 사용하는 변환표 항목들입니다. 오른쪽 열의 조건은 변환이 어디에서 존재하는지를 알려 주므로 중요합니다.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	성립 조건
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

실수값만 다루는 수업 예제에서는 이런 조건이 종종 $s > 0$ 또는 $s > a$ 같은 부등식으로 나타납니다. 더 일반적으로는, 변환은 복소수 $s$-평면의 어떤 영역에서 정의됩니다.

실제로 가장 많이 쓰이는 라플라스 변환의 성질

긴 목록을 외울 필요는 없습니다. 다음 세 가지 성질만으로도 초급 과정의 많은 문제를 처리할 수 있습니다.

선형성

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

이 성질을 이용하면 합을 더 간단한 변환들로 나눌 수 있습니다.

미분 공식

$f$가 모든 유한 구간에서 구간별 연속이고 지수차수를 가지면,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

가 성립합니다.

이 식은 초기값 문제를 푸는 핵심 단계입니다. 초기값이 나중에 따로 붙는 것이 아니라 자동으로 식에 나타납니다.

지수 이동

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$이고 두 변환이 모두 존재하면,

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

가 됩니다.

그래서 많은 변환표 항목들이 $s$에서의 단순한 이동으로 서로 연결됩니다.

역라플라스 변환: 의미는 무엇인가

역라플라스 변환은 $F(s)$에서 시작해 시간 영역의 함수 $f(t)$를 복원하는 과정입니다.

이론적으로는 형식적인 역변환 공식이 있습니다. 하지만 대부분의 수업 문제에서는 그 공식을 직접 계산하지 않습니다. 대신 $F(s)$를 알려진 표의 형태로 정리하고, 보통 대수 계산이나 부분분수 분해를 거쳐 표에서 답을 읽어 냅니다.

예제: 라플라스 변환으로 초기값 문제 풀기

다음을 생각해 봅시다.

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

다음과 같이 둡니다.

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

양변에 라플라스 변환을 취하면,

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

미분 공식과 $1$에 대한 변환표 항목을 사용하면,

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

$y(0) = 0$이므로,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

따라서

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

이제 더 간단한 분수로 나눕니다.

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

각 항에 대해 역라플라스 변환을 취하면,

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

따라서,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

이 한 예제에 라플라스 변환의 전체 흐름이 들어 있습니다. 변환하고, $s$에서 풀고, 다시 역변환합니다. 미분방정식이 대수 문제가 되었고, 초기조건은 처음부터 계산에 포함되어 있었습니다.

라플라스 변환에서 자주 하는 실수

수렴 조건을 빼먹는 경우

변환표의 각 항목은 정의 적분이 수렴하는 곳에서만 유효합니다. 이 조건을 무시하면 답의 일부를 빠뜨리는 셈입니다.

$\mathcal{L}\{f'(t)\}$에서 초기값을 빠뜨리는 경우

$-f(0)$ 항은 놓치기 쉽습니다. 이 항을 빼면 변환된 방정식은 대개 원래와 다른 문제를 풀게 됩니다.

너무 일찍 역변환하려는 경우

$F(s)$가 유리식이면 먼저 정리하는 편이 더 쉽습니다. 역변환 전에 부분분수 분해를 하는 경우가 많습니다.

라플라스 변환은 언제 쓰이나

라플라스 변환은 초기조건이 있는 선형 상미분방정식에서 특히 유용합니다. 이것이 수업에서 가장 표준적인 활용입니다.

또한 회로 해석, 제어 시스템, 신호 모델링처럼 지수 응답과 시간 영역 입력을 체계적으로 다뤄야 하는 여러 분야에서도 등장합니다.

직접 해보기

같은 과정을 다음 식에 적용해 보세요.

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

방정식을 변환하고, $Y(s)$를 구한 뒤, 다시 역변환해 보세요. 빠르게 확인하고 싶다면 최종적으로 얻은 $y(t)$가 원래 초기조건과 $t=0$에서의 미분방정식을 만족하는지 비교해 보세요.