การแปลงลาปลาซ — ตาราง สมบัติ และอินเวอร์ส

การแปลงลาปลาซเปลี่ยนฟังก์ชันในโดเมนเวลา $f(t)$ ให้เป็นฟังก์ชันใหม่ $F(s)$ ที่มักจัดการได้ง่ายกว่า ในวิชาเบื้องต้น หน้าที่หลักของมันเรียบง่ายมาก: เปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขตั้งต้นให้เป็นปัญหาพีชคณิต แล้วใช้อินเวอร์สลาปลาซเพื่อกลับไปยังตัวแปร $t$

สำหรับการแปลงลาปลาซแบบด้านเดียวที่ใช้ในวิชาสมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่ นิยามคือ

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

เมื่ออินทิกรัลลู่ออก

ถ้า $\operatorname{Re}(s)$ มีค่ามากพอ ตัวประกอบ $e^{-st}$ จะกดพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ $t$ มีค่ามาก ทำให้อินทิกรัลไม่แท้ยังคงมีค่าจำกัดได้ เงื่อนไขการลู่ออกนี้เป็นส่วนหนึ่งของการแปลง ไม่ใช่หมายเหตุเล็กน้อยที่ใส่เพิ่มทีหลัง

การแปลงลาปลาซช่วยให้คุณทำอะไรได้บ้าง

การแปลงนี้ไม่ได้เปลี่ยนความหมายของปัญหา แต่มันจัดรูปปัญหาใหม่ให้อยู่ในรูปที่การหาอนุพันธ์กลายเป็นพีชคณิต

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีนี้จึงมีประโยชน์มากกับปัญหาค่าเริ่มต้นเชิงเส้น คุณยังคงเก็บเงื่อนไขตั้งต้นไว้ แต่ตัวสมการเองมักแก้ได้ง่ายขึ้น

ตารางการแปลงลาปลาซ: คู่ฟังก์ชันที่ใช้บ่อย

นี่คือรายการในตารางที่นักเรียนใช้บ่อยที่สุด เงื่อนไขในคอลัมน์ขวาสำคัญ เพราะมันบอกว่าการแปลงมีอยู่ในบริเวณใด

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	ใช้ได้เมื่อ
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

ถ้าคุณทำโจทย์ในชั้นเรียนที่มีค่าเป็นจำนวนจริงเท่านั้น เงื่อนไขเหล่านี้มักเขียนเป็นอสมการอย่าง $s > 0$ หรือ $s > a$ โดยทั่วไปกว่านั้น การแปลงจะนิยามอยู่บนบริเวณหนึ่งของระนาบเชิงซ้อน $s$

สมบัติของการแปลงลาปลาซที่ใช้งานจริงมากที่สุด

คุณไม่จำเป็นต้องจำรายการยาว ๆ สมบัติ 3 ข้อนี้ครอบคลุมโจทย์จำนวนมากในวิชาเบื้องต้น

สมบัติเชิงเส้น

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

สมบัตินี้ช่วยให้คุณแยกผลบวกออกเป็นการแปลงที่ง่ายกว่าได้

กฎของอนุพันธ์

ถ้า $f$ ต่อเนื่องเป็นช่วงบนทุกช่วงจำกัด และมีอันดับเอ็กซ์โพเนนเชียล จะได้ว่า

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

นี่คือขั้นตอนสำคัญในการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น ค่าตั้งต้นจะปรากฏขึ้นมาเองโดยอัตโนมัติ แทนที่จะต้องเติมเข้าไปทีหลังด้วยมือ

การเลื่อนแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ถ้า $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ และการแปลงทั้งสองมีอยู่ จะได้ว่า

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

นี่คือเหตุผลที่รายการในตารางหลายตัวสัมพันธ์กันด้วยการเลื่อนอย่างง่ายใน $s$

อินเวอร์สลาปลาซ: ความหมายคืออะไร

อินเวอร์สลาปลาซเริ่มจาก $F(s)$ แล้วกู้คืนฟังก์ชันในโดเมนเวลา $f(t)$

ในทางทฤษฎีมีสูตรอินเวอร์สอย่างเป็นทางการอยู่ แต่ในโจทย์ส่วนใหญ่ในห้องเรียน คุณไม่ได้คำนวณจากสูตรนั้นโดยตรง คุณจะจัดรูป $F(s)$ ให้เป็นรูปที่รู้จักจากตาราง ซึ่งมักทำด้วยพีชคณิตหรือการแยกเศษส่วนย่อย แล้วจึงอ่านคำตอบจากตาราง

ตัวอย่างทำจริง: ใช้การแปลงลาปลาซแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

พิจารณา

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

ให้

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

ทำการแปลงลาปลาซทั้งสองข้างของสมการ:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

ใช้กฎของอนุพันธ์และรายการในตารางสำหรับ $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

เนื่องจาก $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

ดังนั้น

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

ตอนนี้แยกมันออกเป็นเศษส่วนที่ง่ายกว่า:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

หาอินเวอร์สลาปลาซทีละพจน์:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

ดังนั้น

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

นี่คือขั้นตอนการทำงานของการแปลงลาปลาซครบถ้วนในตัวอย่างเดียว: แปลง แก้ในตัวแปร $s$ แล้วหาอินเวอร์ส สมการเชิงอนุพันธ์ถูกเปลี่ยนให้เป็นปัญหาพีชคณิต และเงื่อนไขตั้งต้นก็ถูกรวมอยู่ในการคำนวณตั้งแต่ต้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแปลงลาปลาซ

ลืมเงื่อนไขการลู่ออก

รายการในตารางจะใช้ได้ก็ต่อเมื่ออินทิกรัลตามนิยามลู่ออกเท่านั้น ถ้าคุณละเลยเงื่อนไขนี้ เท่ากับว่าคุณกำลังละส่วนหนึ่งของคำตอบออกไป

ลืมค่าตั้งต้นใน $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

พจน์ $-f(0)$ พลาดได้ง่าย ถ้าคุณตัดมันออก สมการหลังการแปลงก็มักจะกลายเป็นการแก้คนละปัญหา

รีบหาอินเวอร์สเร็วเกินไป

ถ้า $F(s)$ เป็นนิพจน์ตรรกยะ มักจะง่ายกว่าถ้าจัดรูปมันก่อน การแยกเศษส่วนย่อยเป็นขั้นตอนที่ใช้บ่อยก่อนหาอินเวอร์ส

การแปลงลาปลาซถูกใช้เมื่อใด

การแปลงลาปลาซมีประโยชน์เป็นพิเศษกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขตั้งต้น นี่คือการใช้งานมาตรฐานในห้องเรียน

นอกจากนี้ยังพบได้ในการวิเคราะห์วงจร ระบบควบคุม การจำลองสัญญาณ และสถานการณ์ใดก็ตามที่ต้องจัดการการตอบสนองแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและอินพุตในโดเมนเวลาอย่างเป็นระบบ

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองใช้ขั้นตอนเดียวกันกับ

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

แปลงสมการ แก้หา $Y(s)$ แล้วจึงหาอินเวอร์ส ถ้าคุณอยากตรวจคำตอบแบบเร็ว ๆ ให้เปรียบเทียบ $y(t)$ สุดท้ายของคุณกับเงื่อนไขตั้งต้นเดิมและสมการเชิงอนุพันธ์ที่ $t=0$