สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า — สมบัติ

สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า คือสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านทั้งสามไม่เท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด นั่นยังหมายความว่ามุมภายในทั้งสามก็ต่างกันทั้งหมดด้วย ถ้าความยาวด้านทั้งสามต่างกันและเป็นไปตามอสมการของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมนั้นก็เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

นี่คือใจความสำคัญที่นักเรียนส่วนใหญ่ต้องรู้ คำว่า “ด้านไม่เท่า” บอกว่าไม่มีความสมมาตรจากด้านที่เท่ากัน ดังนั้นคุณไม่ควรใช้ทางลัดแบบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เช่น มุมฐานเท่ากัน

สมบัติสำคัญของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

สำหรับสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า:

1. ความยาวด้านทั้งสามต่างกันทั้งหมด
2. มุมภายในทั้งสามต่างกันทั้งหมด
3. ด้านที่ยาวที่สุดอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด
4. ด้านที่สั้นที่สุดอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เล็กที่สุด
5. สามเหลี่ยมยังอาจเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้านก็ได้

ข้อสุดท้ายสำคัญมาก คำว่า “ด้านไม่เท่า” อธิบายความยาวด้าน ไม่ใช่ชนิดของมุม

ทำไมมุมจึงต้องต่างกันทั้งหมด

ในสามเหลี่ยมใด ๆ ด้านที่ยาวเท่ากันจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน และข้อความกลับกันก็จริงเช่นกัน คือมุมที่เท่ากันจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากัน

ดังนั้นถ้าไม่มีด้านคู่ใดเท่ากัน ก็จะไม่มีมุมคู่ใดเท่ากันด้วย โดยปกติคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณมุมเพื่อจะรู้เรื่องนี้ ความยาวด้านก็บังคับให้เป็นเช่นนั้นอยู่แล้ว

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ เมื่อความยาวด้านเป็น 4, 5 และ 6

พิจารณาสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น $4$, $5$ และ $6$

ก่อนอื่นตรวจสอบว่าความยาวเหล่านี้ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมได้:

$$4 + 5 > 6, \quad 4 + 6 > 5, \quad 5 + 6 > 4$$

ดังนั้นสามเหลี่ยมนี้ใช้ได้จริง และเนื่องจากความยาวด้านทั้งสามต่างกัน จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

ตอนนี้คุณสามารถอ่านข้อมูลเกี่ยวกับมุมที่เป็นประโยชน์ได้ทันที:

1. มุมที่ใหญ่ที่สุดอยู่ตรงข้ามกับด้านยาว $6$
2. มุมที่เล็กที่สุดอยู่ตรงข้ามกับด้านยาว $4$
3. มุมที่เหลืออยู่ตรงข้ามกับด้านยาว $5$

บ่อยครั้ง แค่นี้ก็เพียงพอสำหรับการแก้โจทย์เรขาคณิตโดยไม่ต้องหาค่าของทุกมุมอย่างละเอียด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อระบุว่าสามเหลี่ยมเป็นด้านไม่เท่า

1. ลืมตรวจสอบอสมการของสามเหลี่ยมก่อน
2. คิดว่า “ไม่ใช่สามเหลี่ยมด้านเท่า” แปลว่า “เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า” ซึ่งไม่จริง เพราะสามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่ใช่สามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ก็ไม่ใช่สามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเช่นกัน
3. คิดว่าสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากไม่ได้ ซึ่งจริง ๆ แล้วเป็นได้
4. สับสนระหว่างชนิดตามด้านกับชนิดตามมุม คำว่า “ด้านไม่เท่า” พูดถึงแค่ความเท่ากันของด้านเท่านั้น

ใช้สมบัติของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเมื่อไร

คุณจะใช้สมบัติเหล่านี้เมื่อการจำแนกประเภทของสามเหลี่ยมมีผลต่อขั้นตอนถัดไป ในโจทย์เรขาคณิต นั่นมักหมายถึงการตัดสินใจว่าสามารถใช้เหตุผลจากความสมมาตรได้หรือไม่

ถ้าสามเหลี่ยมเป็นด้านไม่เท่า โดยทั่วไปคุณมักต้องใช้เครื่องมือทั่วไปแทนทางลัดจากความสมมาตร ขึ้นอยู่กับโจทย์ เครื่องมือเหล่านั้นอาจเป็นกฎของไซน์ กฎของโคไซน์ หรือสูตรหาพื้นที่

ตรวจสอบอย่างรวดเร็ว

สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน $7$, $7$ และ $10$ ไม่ใช่สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า เพราะมีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ส่วนสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน $5$, $7$ และ $9$ เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า เพราะด้านทั้งสามต่างกันและเป็นไปตามอสมการของสามเหลี่ยม

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองใช้ความยาวด้าน $5$, $7$ และ $9$ ตรวจสอบอสมการของสามเหลี่ยม ตัดสินว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าหรือไม่ แล้วเรียงลำดับมุมจากเล็กไปใหญ่โดยดูจากด้านตรงข้าม ถ้าต้องการลองกรณีเรขาคณิตอีกแบบหลังจากนั้น ให้เปรียบเทียบกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วสังเกตว่าทางลัดจากความสมมาตรข้อใดใช้ไม่ได้อีกต่อไป