Daire Dilimi ve Yay Uzunluğu — Formüller ve Örnekler

Daire dilimi, iki yarıçap ile bunları birleştiren yay arasında kalan bölgedir. Yay uzunluğu bu eğri kenarın uzunluğudur, daire dilimi alanı ise bu parçanın alanıdır.

Bir çemberin yarıçapı $r$ ve merkez açısı $\theta$ ise önce açının birimini kontrol edin. Eğer $\theta$ radyan cinsindense,

$$s = r\theta$$

ve

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

kullanılır.

Eğer $\theta$ derece cinsindense,

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

ve

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

kullanılır.

Bu koşul önemlidir. Radyan formülleri yalnızca açı radyan cinsinden verildiğinde çalışır.

Formüller neden çalışır?

Her iki formül de tam çemberin belli bir kısmını almaya dayanır.

Tam bir çemberin çevresi $2\pi r$, alanı ise $\pi r^2$'dir. Daire dilimi, merkez açının belirlediği kadar bir pay alır. Örneğin $90^\circ$, tam turun dörtte biridir; bu yüzden ilgili daire diliminin hem çevresel payı hem de alanı çemberin dörtte biri olur.

Radyan cinsinden aynı fikir daha sade görünür çünkü tam çember $2\pi$ radyandır. Açı $\pi/3$ ise daire dilimi çemberin $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$'sıdır.

Bu yüzden iki büyüklük de öngörülebilir biçimde artar: yarıçap büyüdükçe ikisi de büyür, merkez açı büyüdükçe de ikisi de büyür.

Çözümlü örnek: yarıçap $12$ cm, açı $60^\circ$

Bir daire diliminin yarıçapının $12$ cm, merkez açısının $60^\circ$ olduğunu düşünelim.

Açı derece cinsinden verildiği için derece formüllerini kullanırız.

Yay uzunluğu için,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Buna göre yay uzunluğu $4\pi$ cm'dir.

Daire dilimi alanı için,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Buna göre daire dilimi alanı $24\pi\ \text{cm}^2$'dir.

Burada yararlı bir kontrol daha vardır. Aynı daire dilimi için,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

$r = 12$ ve $s = 4\pi$ kullanılırsa,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Sonuç aynı çıktığı için kurulum tutarlıdır.

Daire dilimi alanı ve yay uzunluğunda sık yapılan hatalar

1. $\theta$ hâlâ derece cinsindeyken $s = r\theta$ kullanmak.
2. Formüllerde yarıçap gerekirken çapı kullanmak.
3. Yay uzunluğu ile kiriş uzunluğunu karıştırmak. Yay uzunluğu eğriyi izler; kiriş ise düz bir doğru parçasıdır.
4. Daire dilimi alanının kare birimle yazılması gerektiğini unutmak.
5. Soru cevabı $\pi$ cinsinden tam istiyorsa çok erken yuvarlama yapmak.

Daire dilimi alanı ve yay uzunluğu nerelerde kullanılır?

Bu formüller, geometri ve trigonometride tam çember yerine çemberin bir parçasıyla çalıştığınız her durumda karşınıza çıkar. Tekerlekler, dişliler, dairesel pistler, pasta grafiği dilimleri ve mühendislik çizimleri yaygın örneklerdir.

Daha sonra fizik ve kalkülüste de önem kazanırlar çünkü radyan, dönme ile ilgili formülleri daha sade ve daha tutarlı hâle getirir.

Doğru formülü seçmenin kısa yolu

Önce şu iki soruyu sorun:

1. Eğri boyunca olan uzaklığı mı, yoksa iç bölgenin alanını mı arıyorum?
2. Açı derece mi, radyan mı?

Bu iki soruya doğru cevap verirseniz, doğru formül genellikle kendiliğinden ortaya çıkar.

Benzer bir soru deneyin

Kendi örneğinizi yarıçap $9$ m ve merkez açı $120^\circ$ olacak şekilde deneyin. Önce yay uzunluğunu, sonra daire dilimi alanını bulun ve $A = \frac{1}{2}rs$ ile aynı alanın çıkıp çıkmadığını kontrol edin. Formüllerin ve birimlerin gerçekten anlamlı olup olmadığını test etmek için bu iyi bir sonraki adımdır.