扇形と弧の長さ — 公式と例題

扇形とは、2本の半径とそれらを結ぶ弧にはさまれた部分です。弧の長さはその曲線部分の長さで、扇形の面積はその切り取られた部分の面積です。

半径が $r$、中心角が $\theta$ の円では、まず角度の単位を確認します。$\theta$ がラジアンなら、次を使います。

$$s = r\theta$$

また、

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

$\theta$ が度数法なら、次を使います。

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

また、

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

この条件は重要です。ラジアン用の公式は、角度がラジアンで表されているときにしか使えません。

なぜこの公式になるのか

どちらの公式も、円全体のうちの何割かを取るという考え方から出てきます。

円全体の円周は $2\pi r$、面積は $\pi r^2$ です。扇形は、中心角で決まる割合だけを取ったものです。たとえば $90^\circ$ は1回転の4分の1なので、その扇形は円周も面積も円全体の4分の1になります。

ラジアンで考えると、この考え方はさらにすっきりします。円1周は $2\pi$ ラジアンです。角度が $\pi/3$ なら、その扇形は円全体の $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ です。

だからこそ、どちらの量も規則的に大きくなります。半径が大きくなれば両方とも大きくなり、中心角が大きくなっても両方とも大きくなります。

例題：半径 $12$ cm、角度 $60^\circ$

半径 $12$ cm、中心角 $60^\circ$ の扇形を考えます。

角度は度数法なので、度数法の公式を使います。

弧の長さは、

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

したがって、弧の長さは $4\pi$ cm です。

扇形の面積は、

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

したがって、扇形の面積は $24\pi\ \text{cm}^2$ です。

ここで便利な確認方法があります。同じ扇形では、

$$A = \frac{1}{2}rs$$

が成り立ちます。$r = 12$、$s = 4\pi$ を使うと、

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

結果が一致するので、立式は正しいと確認できます。

扇形の面積と弧の長さでよくある間違い

1. $\theta$ がまだ度数法なのに $s = r\theta$ を使ってしまう。
2. 公式で半径が必要なのに直径を使ってしまう。
3. 弧の長さと弦の長さを混同する。弧の長さは曲線に沿った長さで、弦は一直線の線分です。
4. 扇形の面積を平方単位で書くのを忘れる。
5. 問題が $\pi$ を使った正確な値を求めているのに、途中で早く丸めてしまう。

扇形の面積と弧の長さはいつ使うのか

これらの公式は、円全体ではなく円の一部分を扱うときに、図形や三角比の分野でよく出てきます。よくある例としては、車輪、歯車、円形トラック、円グラフの一切れ、工学の図面などがあります。

また、物理や微積分でも重要です。ラジアンを使うと、回転に関する公式がより簡単で一貫した形になるからです。

正しい公式をすばやく選ぶ方法

まず次の2つを確認します。

1. 必要なのは曲線に沿った長さですか、それとも内側の面積ですか？
2. 角度は度数法ですか、それともラジアンですか？

この2つに正しく答えられれば、使うべき公式はたいていすぐにわかります。

似た問題に挑戦してみよう

半径 $9$ m、中心角 $120^\circ$ の場合で自分でも解いてみましょう。まず弧の長さを求め、次に扇形の面積を求めて、$A = \frac{1}{2}rs$ でも同じ面積になるか確かめてください。公式と単位の意味を本当に理解できているか試すのに、ちょうどよい次の一歩です。