Settore circolare e lunghezza dell’arco — formule ed esempi

Un settore è la regione compresa tra due raggi e l’arco che li unisce. La lunghezza dell’arco è la lunghezza di quel bordo curvo, mentre l’area del settore è l’area della porzione.

Se una circonferenza ha raggio $r$ e angolo al centro $\theta$, controlla prima l’unità dell’angolo. Se $\theta$ è in radianti, usa

$$s = r\theta$$

e

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Se $\theta$ è in gradi, usa

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

e

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Questa condizione è importante. Le formule con i radianti funzionano solo quando l’angolo è misurato in radianti.

Perché le formule funzionano

Entrambe le formule derivano dal prendere una frazione dell’intera circonferenza.

Una circonferenza completa ha lunghezza $2\pi r$ e area $\pi r^2$. Un settore ne prende solo la frazione determinata dall’angolo al centro. Per esempio, $90^\circ$ è un quarto di giro completo, quindi il suo settore ha un quarto della circonferenza e un quarto dell’area del cerchio.

In radianti, la stessa idea diventa più semplice perché un giro completo misura $2\pi$ radianti. Se l’angolo è $\pi/3$, il settore è $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ del cerchio.

Per questo entrambe le quantità crescono in modo prevedibile: un raggio più grande le rende entrambe maggiori, e anche un angolo al centro più grande le rende entrambe maggiori.

Esempio svolto: raggio $12$ cm, angolo $60^\circ$

Supponiamo che un settore abbia raggio $12$ cm e angolo al centro $60^\circ$.

Poiché l’angolo è in gradi, usa le formule con i gradi.

Per la lunghezza dell’arco,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Quindi la lunghezza dell’arco è $4\pi$ cm.

Per l’area del settore,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Quindi l’area del settore è $24\pi\ \text{cm}^2$.

Qui c’è un controllo utile. Per lo stesso settore,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Usando $r = 12$ e $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Il risultato coincide, quindi l’impostazione è coerente.

Errori comuni con l’area del settore e la lunghezza dell’arco

1. Usare $s = r\theta$ quando $\theta$ è ancora espresso in gradi.
2. Usare il diametro dove le formule richiedono il raggio.
3. Confondere la lunghezza dell’arco con la lunghezza della corda. La lunghezza dell’arco segue la curva; una corda è un segmento rettilineo.
4. Dimenticare che l’area del settore deve essere scritta in unità quadrate.
5. Arrotondare troppo presto quando il problema richiede una risposta esatta in funzione di $\pi$.

Quando si usano l’area del settore e la lunghezza dell’arco

Queste formule compaiono in geometria e trigonometria ogni volta che lavori con una parte di cerchio invece che con il cerchio intero. Esempi comuni includono ruote, ingranaggi, piste circolari, spicchi nei grafici a torta e disegni tecnici.

Sono importanti anche più avanti in fisica e nel calcolo, perché i radianti rendono le formule di rotazione più semplici e coerenti.

Un modo rapido per scegliere la formula giusta

Fatti prima due domande:

1. Mi serve la distanza curva oppure l’area interna?
2. L’angolo è in gradi o in radianti?

Se rispondi correttamente a queste due domande, la formula giusta di solito è evidente.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con raggio $9$ m e angolo al centro $120^\circ$. Trova prima la lunghezza dell’arco, poi l’area del settore, e controlla se $A = \frac{1}{2}rs$ dà la stessa area. È un buon passo successivo se vuoi verificare che formule e unità abbiano entrambe senso.