Secteur et longueur d’arc — Formules et exemples

Un secteur est la région comprise entre deux rayons et l’arc qui les relie. La longueur d’arc est la longueur de ce bord courbe, et l’aire du secteur est l’aire de cette portion de disque.

Si un cercle a pour rayon $r$ et pour angle au centre $\theta$, commencez par vérifier l’unité de l’angle. Si $\theta$ est en radians, utilisez

$$s = r\theta$$

et

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Si $\theta$ est en degrés, utilisez

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

et

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Cette condition est importante. Les formules en radians ne fonctionnent que si l’angle est mesuré en radians.

Pourquoi ces formules fonctionnent

Les deux formules viennent du fait qu’on prend une fraction d’un cercle complet.

Un cercle complet a pour circonférence $2\pi r$ et pour aire $\pi r^2$. Un secteur n’en prend qu’une fraction, déterminée par l’angle au centre. Par exemple, $90^\circ$ représente un quart de tour, donc son secteur a un quart de la circonférence du cercle et un quart de son aire.

En radians, la même idée devient plus simple, car un cercle complet mesure $2\pi$ radians. Si l’angle vaut $\pi/3$, alors le secteur représente $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ du cercle.

C’est pourquoi les deux grandeurs augmentent de façon prévisible : un rayon plus grand rend les deux plus grandes, et un angle au centre plus grand aussi.

Exemple résolu : rayon $12$ cm, angle $60^\circ$

Supposons qu’un secteur ait un rayon de $12$ cm et un angle au centre de $60^\circ$.

Comme l’angle est en degrés, on utilise les formules en degrés.

Pour la longueur d’arc,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Donc la longueur d’arc est $4\pi$ cm.

Pour l’aire du secteur,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Donc l’aire du secteur est $24\pi\ \text{cm}^2$.

Il y a ici une vérification utile. Pour un même secteur,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

En utilisant $r = 12$ et $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Le résultat correspond, donc la démarche est cohérente.

Erreurs fréquentes avec l’aire d’un secteur et la longueur d’arc

1. Utiliser $s = r\theta$ alors que $\theta$ est encore en degrés.
2. Utiliser le diamètre alors que les formules demandent le rayon.
3. Confondre longueur d’arc et longueur de corde. La longueur d’arc suit la courbe ; une corde est un segment droit.
4. Oublier que l’aire d’un secteur doit s’écrire en unités carrées.
5. Arrondir trop tôt alors que l’exercice demande une réponse exacte en fonction de $\pi$.

Quand utilise-t-on l’aire d’un secteur et la longueur d’arc ?

Ces formules apparaissent en géométrie et en trigonométrie chaque fois qu’on travaille sur une partie d’un cercle plutôt que sur le cercle entier. On les rencontre souvent avec les roues, les engrenages, les pistes circulaires, les parts de diagrammes circulaires et les dessins techniques.

Elles sont aussi importantes plus tard en physique et en calcul, car les radians rendent les formules de rotation plus simples et plus cohérentes.

Méthode rapide pour choisir la bonne formule

Posez-vous d’abord deux questions :

1. Ai-je besoin de la distance courbe ou de l’aire intérieure ?
2. L’angle est-il en degrés ou en radians ?

Si vous répondez correctement à ces deux questions, la bonne formule est généralement évidente.

Essayez un exercice similaire

Essayez votre propre version avec un rayon de $9$ m et un angle au centre de $120^\circ$. Trouvez d’abord la longueur d’arc, puis l’aire du secteur, et vérifiez si $A = \frac{1}{2}rs$ donne la même aire. C’est une bonne étape suivante si vous voulez vérifier que les formules et les unités ont bien du sens.