Sector y longitud de arco — fórmulas y ejemplos

Un sector es la región comprendida entre dos radios y el arco que los une. La longitud de arco es la longitud de ese borde curvo, y el área del sector es el área de esa porción.

Si una circunferencia tiene radio $r$ y ángulo central $\theta$, primero comprueba la unidad del ángulo. Si $\theta$ está en radianes, usa

$$s = r\theta$$

y

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Si $\theta$ está en grados, usa

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

y

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Esta condición importa. Las fórmulas con radianes solo funcionan cuando el ángulo está medido en radianes.

Por qué funcionan las fórmulas

Ambas fórmulas salen de tomar una fracción de la circunferencia completa.

Una circunferencia completa tiene longitud $2\pi r$ y área $\pi r^2$. Un sector toma solo la fracción determinada por el ángulo central. Por ejemplo, $90^\circ$ es un cuarto de vuelta completa, así que su sector tiene un cuarto de la circunferencia y un cuarto del área.

En radianes, la misma idea queda más limpia porque una vuelta completa son $2\pi$ radianes. Si el ángulo es $\pi/3$, el sector es $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ de la circunferencia.

Por eso ambas cantidades crecen de forma predecible: un radio mayor hace que ambas sean mayores, y un ángulo central mayor también hace que ambas sean mayores.

Ejemplo resuelto: radio $12$ cm, ángulo $60^\circ$

Supón que un sector tiene radio $12$ cm y ángulo central $60^\circ$.

Como el ángulo está en grados, usa las fórmulas para grados.

Para la longitud de arco,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Así que la longitud de arco es $4\pi$ cm.

Para el área del sector,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Así que el área del sector es $24\pi\ \text{cm}^2$.

Aquí hay una comprobación útil. Para el mismo sector,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Usando $r = 12$ y $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

El resultado coincide, así que el planteamiento es consistente.

Errores comunes con el área del sector y la longitud de arco

1. Usar $s = r\theta$ cuando $\theta$ todavía está en grados.
2. Usar el diámetro cuando las fórmulas necesitan el radio.
3. Confundir la longitud de arco con la longitud de la cuerda. La longitud de arco sigue la curva; una cuerda es un segmento recto.
4. Olvidar que el área del sector debe escribirse en unidades cuadradas.
5. Redondear demasiado pronto cuando el problema pide una respuesta exacta en términos de $\pi$.

Cuándo se usan el área del sector y la longitud de arco

Estas fórmulas aparecen en geometría y trigonometría siempre que trabajas con una parte de una circunferencia en lugar de la circunferencia completa. Algunos ejemplos comunes son ruedas, engranajes, pistas circulares, porciones de gráficos circulares y dibujos de ingeniería.

También son importantes más adelante en física y cálculo porque los radianes hacen que las fórmulas de rotación sean más simples y consistentes.

Forma rápida de elegir la fórmula correcta

Hazte primero dos preguntas:

1. ¿Necesito la distancia curva o el área interior?
2. ¿El ángulo está en grados o en radianes?

Si respondes bien a esas dos preguntas, la fórmula correcta suele ser evidente.

Prueba un problema parecido

Prueba tu propia versión con radio $9$ m y ángulo central $120^\circ$. Halla primero la longitud de arco, luego el área del sector, y comprueba si $A = \frac{1}{2}rs$ da la misma área. Ese es un buen siguiente paso si quieres comprobar si las fórmulas y las unidades tienen sentido.