Wycinek koła i długość łuku — wzory i przykłady

Wycinek koła to obszar między dwoma promieniami i łączącym je łukiem. Długość łuku to długość tej zakrzywionej krawędzi, a pole wycinka to pole tego fragmentu koła.

Jeśli koło ma promień $r$ i kąt środkowy $\theta$, najpierw sprawdź jednostkę kąta. Jeśli $\theta$ jest podane w radianach, użyj

$$s = r\theta$$

oraz

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Jeśli $\theta$ jest podane w stopniach, użyj

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

oraz

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Ten warunek ma znaczenie. Wzory z radianami działają tylko wtedy, gdy kąt jest mierzony w radianach.

Dlaczego te wzory działają

Oba wzory wynikają z wzięcia części całego koła.

Pełne koło ma obwód $2\pi r$ i pole $\pi r^2$. Wycinek stanowi tylko część wyznaczoną przez kąt środkowy. Na przykład $90^\circ$ to jedna czwarta pełnego obrotu, więc taki wycinek ma jedną czwartą obwodu koła i jedną czwartą jego pola.

W radianach ta sama idea jest prostsza, bo pełne koło ma $2\pi$ radianów. Jeśli kąt wynosi $\pi/3$, to wycinek stanowi $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ całego koła.

Dlatego obie wielkości rosną w przewidywalny sposób: większy promień zwiększa obie, a większy kąt środkowy także zwiększa obie.

Przykład: promień $12$ cm, kąt $60^\circ$

Załóżmy, że wycinek ma promień $12$ cm i kąt środkowy $60^\circ$.

Ponieważ kąt jest podany w stopniach, użyj wzorów dla stopni.

Dla długości łuku,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Zatem długość łuku wynosi $4\pi$ cm.

Dla pola wycinka,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Zatem pole wycinka wynosi $24\pi\ \text{cm}^2$.

Jest tu przydatne sprawdzenie. Dla tego samego wycinka,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Podstawiając $r = 12$ i $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Wynik się zgadza, więc sposób rozwiązania jest spójny.

Najczęstsze błędy przy polu wycinka i długości łuku

1. Używanie $s = r\theta$, gdy $\theta$ nadal jest podane w stopniach.
2. Używanie średnicy tam, gdzie we wzorach potrzebny jest promień.
3. Mylenie długości łuku z długością cięciwy. Długość łuku biegnie po krzywej, a cięciwa jest odcinkiem prostym.
4. Zapominanie, że pole wycinka trzeba zapisać w jednostkach kwadratowych.
5. Zaokrąglanie zbyt wcześnie, gdy zadanie wymaga dokładnej odpowiedzi w postaci z $\pi$.

Kiedy używa się pola wycinka i długości łuku

Te wzory pojawiają się w geometrii i trygonometrii zawsze wtedy, gdy pracujesz z częścią koła zamiast z całym kołem. Typowe przykłady to koła, zębatki, tory kołowe, fragmenty wykresów kołowych i rysunki techniczne.

Są też ważne później w fizyce i analizie matematycznej, ponieważ radiany upraszczają wzory związane z ruchem obrotowym i czynią je bardziej spójnymi.

Jak szybko wybrać właściwy wzór

Najpierw zadaj sobie dwa pytania:

1. Czy potrzebuję zakrzywionej długości, czy pola wewnątrz?
2. Czy kąt jest podany w stopniach czy w radianach?

Jeśli odpowiesz na nie poprawnie, właściwy wzór zwykle będzie oczywisty.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z promieniem $9$ m i kątem środkowym $120^\circ$. Najpierw oblicz długość łuku, potem pole wycinka i sprawdź, czy $A = \frac{1}{2}rs$ daje to samo pole. To dobry kolejny krok, jeśli chcesz sprawdzić, czy wzory i jednostki naprawdę mają sens.