Setor circular e comprimento de arco — fórmulas e exemplos

Um setor é a região entre dois raios e o arco que os liga. O comprimento de arco é o comprimento dessa borda curva, e a área do setor é a área dessa fatia.

Se um círculo tem raio $r$ e ângulo central $\theta$, primeiro verifique a unidade do ângulo. Se $\theta$ estiver em radianos, use

$$s = r\theta$$

e

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Se $\theta$ estiver em graus, use

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

e

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Essa condição importa. As fórmulas em radianos funcionam apenas quando o ângulo é medido em radianos.

Por que as fórmulas funcionam

As duas fórmulas vêm de tomar uma fração de um círculo inteiro.

Um círculo completo tem circunferência $2\pi r$ e área $\pi r^2$. Um setor pega apenas a fração determinada pelo ângulo central. Por exemplo, $90^\circ$ é um quarto de uma volta completa, então seu setor tem um quarto da circunferência do círculo e um quarto da área.

Em radianos, a mesma ideia fica mais simples porque um círculo completo mede $2\pi$ radianos. Se o ângulo é $\pi/3$, o setor é $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ do círculo.

É por isso que as duas quantidades crescem de forma previsível: um raio maior aumenta ambas, e um ângulo central maior também aumenta ambas.

Exemplo resolvido: raio $12$ cm, ângulo $60^\circ$

Suponha que um setor tenha raio $12$ cm e ângulo central $60^\circ$.

Como o ângulo está em graus, use as fórmulas para graus.

Para o comprimento do arco,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Então o comprimento do arco é $4\pi$ cm.

Para a área do setor,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Então a área do setor é $24\pi\ \text{cm}^2$.

Há uma verificação útil aqui. Para o mesmo setor,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Usando $r = 12$ e $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

O resultado confere, então a montagem está consistente.

Erros comuns com área do setor e comprimento de arco

1. Usar $s = r\theta$ quando $\theta$ ainda está em graus.
2. Usar o diâmetro onde as fórmulas pedem o raio.
3. Confundir comprimento de arco com comprimento da corda. O comprimento de arco segue a curva; a corda é um segmento reto.
4. Esquecer que a área do setor deve ser escrita em unidades quadradas.
5. Arredondar cedo demais quando o problema pede uma resposta exata em termos de $\pi$.

Quando a área do setor e o comprimento de arco são usados

Essas fórmulas aparecem em geometria e trigonometria sempre que você trabalha com parte de um círculo em vez do círculo inteiro. Exemplos comuns incluem rodas, engrenagens, pistas circulares, fatias de gráficos de pizza e desenhos de engenharia.

Elas também são importantes mais adiante em física e cálculo, porque os radianos tornam as fórmulas de rotação mais simples e mais consistentes.

Jeito rápido de escolher a fórmula certa

Faça duas perguntas primeiro:

1. Eu preciso da distância curva ou da área interna?
2. O ângulo está em graus ou em radianos?

Se você responder isso corretamente, a fórmula certa geralmente fica óbvia.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com raio $9$ m e ângulo central $120^\circ$. Encontre primeiro o comprimento do arco, depois a área do setor, e verifique se $A = \frac{1}{2}rs$ dá a mesma área. Esse é um bom próximo passo se você quiser testar se as fórmulas e as unidades fazem sentido.