Kreissektor & Bogenlänge — Formeln und Beispiele

Ein Kreissektor ist der Bereich zwischen zwei Radien und dem Bogen, der sie verbindet. Die Bogenlänge ist die Länge dieses gekrümmten Randes, und der Flächeninhalt des Kreissektors ist die Fläche dieses Kreisteilstücks.

Wenn ein Kreis den Radius $r$ und den Mittelpunktswinkel $\theta$ hat, prüfe zuerst die Winkeleinheit. Wenn $\theta$ im Bogenmaß angegeben ist, verwende

$$s = r\theta$$

und

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Wenn $\theta$ in Grad angegeben ist, verwende

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

und

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Diese Bedingung ist wichtig. Die Formeln mit Bogenmaß funktionieren nur, wenn der Winkel tatsächlich im Bogenmaß gemessen wird.

Warum die Formeln funktionieren

Beide Formeln entstehen daraus, dass man einen Bruchteil eines ganzen Kreises nimmt.

Ein voller Kreis hat den Umfang $2\pi r$ und die Fläche $\pi r^2$. Ein Kreissektor umfasst nur den Anteil, der durch den Mittelpunktswinkel festgelegt ist. Zum Beispiel sind $90^\circ$ ein Viertel einer vollen Umdrehung, also hat der zugehörige Kreissektor ein Viertel des Kreisumfangs und ein Viertel der Kreisfläche.

Im Bogenmaß wird dieselbe Idee noch einfacher, weil ein voller Kreis $2\pi$ Radiant hat. Wenn der Winkel $\pi/3$ ist, dann ist der Kreissektor $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ des ganzen Kreises.

Deshalb wachsen beide Größen auf vorhersehbare Weise: Ein größerer Radius macht beide größer, und ein größerer Mittelpunktswinkel ebenfalls.

Beispiel: Radius $12$ cm, Winkel $60^\circ$

Angenommen, ein Kreissektor hat den Radius $12$ cm und den Mittelpunktswinkel $60^\circ$.

Weil der Winkel in Grad angegeben ist, verwenden wir die Gradformeln.

Für die Bogenlänge gilt

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Die Bogenlänge ist also $4\pi$ cm.

Für den Flächeninhalt des Kreissektors gilt

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Der Flächeninhalt des Kreissektors ist also $24\pi\ \text{cm}^2$.

Hier gibt es eine nützliche Kontrolle. Für denselben Kreissektor gilt

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Mit $r = 12$ und $s = 4\pi$ erhält man

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Das Ergebnis stimmt überein, also ist der Ansatz konsistent.

Häufige Fehler bei Kreissektorfläche und Bogenlänge

1. $s = r\theta$ verwenden, obwohl $\theta$ noch in Grad angegeben ist.
2. Den Durchmesser verwenden, obwohl in den Formeln der Radius gebraucht wird.
3. Bogenlänge und Sehnenlänge verwechseln. Die Bogenlänge folgt der Kurve, eine Sehne ist eine gerade Strecke.
4. Vergessen, dass der Flächeninhalt des Kreissektors in Flächeneinheiten angegeben werden muss.
5. Zu früh runden, obwohl die Aufgabe eine exakte Antwort in Abhängigkeit von $\pi$ verlangt.

Wann man Kreissektorfläche und Bogenlänge verwendet

Diese Formeln tauchen in Geometrie und Trigonometrie immer dann auf, wenn man mit einem Teil eines Kreises statt mit dem ganzen Kreis arbeitet. Häufige Beispiele sind Räder, Zahnräder, kreisförmige Laufbahnen, Tortenstücke in Kreisdiagrammen und technische Zeichnungen.

Sie sind auch später in Physik und Analysis wichtig, weil das Bogenmaß Formeln für Drehbewegungen einfacher und einheitlicher macht.

Schnelle Methode, um die richtige Formel zu wählen

Stelle zuerst zwei Fragen:

1. Brauche ich die gekrümmte Länge oder die eingeschlossene Fläche?
2. Ist der Winkel in Grad oder im Bogenmaß angegeben?

Wenn du diese beiden Fragen richtig beantwortest, ist die passende Formel meist sofort klar.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit dem Radius $9$ m und dem Mittelpunktswinkel $120^\circ$. Berechne zuerst die Bogenlänge, dann den Flächeninhalt des Kreissektors, und prüfe, ob $A = \frac{1}{2}rs$ dieselbe Fläche ergibt. Das ist ein guter nächster Schritt, wenn du testen willst, ob sowohl die Formeln als auch die Einheiten sinnvoll sind.