Juring & Panjang Busur — Rumus dan Contoh

Juring adalah daerah di antara dua jari-jari dan busur yang menghubungkannya. Panjang busur adalah panjang sisi lengkung itu, sedangkan luas juring adalah luas irisan tersebut.

Jika sebuah lingkaran memiliki jari-jari $r$ dan sudut pusat $\theta$, pertama periksa satuan sudutnya. Jika $\theta$ dalam radian, gunakan

$$s = r\theta$$

dan

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Jika $\theta$ dalam derajat, gunakan

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

dan

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Syarat ini penting. Rumus radian hanya berlaku ketika sudut diukur dalam radian.

Mengapa rumus-rumus ini bekerja

Kedua rumus berasal dari mengambil sebagian dari satu lingkaran penuh.

Satu lingkaran penuh memiliki keliling $2\pi r$ dan luas $\pi r^2$. Sebuah juring hanya mengambil bagian yang ditentukan oleh sudut pusat. Misalnya, $90^\circ$ adalah seperempat putaran penuh, jadi juringnya memiliki seperempat keliling lingkaran dan seperempat luas lingkaran.

Dalam radian, gagasan yang sama menjadi lebih sederhana karena satu lingkaran penuh adalah $2\pi$ radian. Jika sudutnya $\pi/3$, maka juring itu adalah $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ dari lingkaran.

Itulah sebabnya kedua besaran ini bertambah dengan cara yang dapat diprediksi: jari-jari yang lebih besar membuat keduanya lebih besar, dan sudut pusat yang lebih besar juga membuat keduanya lebih besar.

Contoh soal: jari-jari $12$ cm, sudut $60^\circ$

Misalkan sebuah juring memiliki jari-jari $12$ cm dan sudut pusat $60^\circ$.

Karena sudutnya dalam derajat, gunakan rumus derajat.

Untuk panjang busur,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Jadi panjang busurnya adalah $4\pi$ cm.

Untuk luas juring,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Jadi luas juringnya adalah $24\pi\ \text{cm}^2$.

Ada satu pemeriksaan yang berguna di sini. Untuk juring yang sama,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Dengan menggunakan $r = 12$ dan $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Hasilnya cocok, jadi penyusunannya konsisten.

Kesalahan umum pada luas juring dan panjang busur

1. Menggunakan $s = r\theta$ ketika $\theta$ masih dalam derajat.
2. Menggunakan diameter padahal rumus memerlukan jari-jari.
3. Tertukar antara panjang busur dan panjang tali busur. Panjang busur mengikuti lengkungan; tali busur adalah ruas garis lurus.
4. Lupa bahwa luas juring harus ditulis dalam satuan kuadrat.
5. Membulatkan terlalu cepat ketika soal meminta jawaban eksak dalam bentuk $\pi$.

Kapan luas juring dan panjang busur digunakan

Rumus-rumus ini muncul dalam geometri dan trigonometri setiap kali Anda bekerja dengan bagian dari lingkaran, bukan seluruh lingkaran. Contoh yang umum meliputi roda, gir, lintasan melingkar, irisan diagram lingkaran, dan gambar teknik.

Rumus ini juga penting nanti dalam fisika dan kalkulus karena radian membuat rumus rotasi lebih sederhana dan lebih konsisten.

Cara cepat memilih rumus yang tepat

Ajukan dua pertanyaan terlebih dahulu:

1. Apakah saya membutuhkan jarak lengkung atau luas bagian dalam?
2. Apakah sudutnya dalam derajat atau radian?

Jika Anda menjawab keduanya dengan benar, rumus yang tepat biasanya langsung terlihat.

Coba soal serupa

Coba versi Anda sendiri dengan jari-jari $9$ m dan sudut pusat $120^\circ$. Cari panjang busur terlebih dahulu, lalu luas juring, dan periksa apakah $A = \frac{1}{2}rs$ memberikan luas yang sama. Itu adalah langkah berikutnya yang baik jika Anda ingin menguji apakah rumus dan satuannya sama-sama masuk akal.