ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล — การเติบโต การลดลง และกราฟ

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใช้จำลองการคูณซ้ำ ๆ ในรูปมาตรฐาน $f(x) = a b^x$ ตัวแปรจะอยู่ในเลขชี้กำลัง โดย $a$ คือค่าเริ่มต้น และ $b$ คือค่าคงที่ที่ถูกนำไปคูณทุกครั้งเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นทีละ $1$

ถ้า $b > 1$ ฟังก์ชันจะแสดงการเติบโต ถ้า $0 < b < 1$ ฟังก์ชันจะแสดงการลดลง นี่คือแนวคิดหลักที่นักเรียนส่วนใหญ่ควรรู้ก่อน

$$f(x) = a b^x$$

สำหรับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ให้ค่าเป็นจำนวนจริง เงื่อนไขที่ใช้กันทั่วไปคือ $b > 0$ และ $b \ne 1$

ความหมายของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

วิธีสังเกตหลักนั้นง่ายมาก: ตัวแปรนำเข้า ซึ่งมักเป็น $x$ ต้องอยู่ในเลขชี้กำลัง นั่นคือสิ่งที่ทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นแบบคูณ ไม่ใช่แบบบวก

ดังนั้น $f(x) = 3 \cdot 2^x$ เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่ $f(x) = 3x^2$ ไม่ใช่ ใน $3x^2$ ตัวแปรอยู่ที่ฐาน ไม่ได้อยู่ในเลขชี้กำลัง

จุดนี้ทำให้รูปแบบเปลี่ยนไปอย่างสิ้นเชิง ฟังก์ชันพหุนามเติบโตตามกำลังของ $x$ ส่วนฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยตัวคูณเดิมทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มขึ้นทีละ $1$

การเติบโตกับการลดลงในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

ใน

$$f(x) = a b^x$$

ฐาน $b$ เป็นตัวกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชัน:

• ถ้า $b > 1$ ทุกก้าวที่เลื่อนไปทางขวาจะทำให้ค่าผลลัพธ์ถูกคูณด้วยจำนวนที่มากกว่า $1$ ดังนั้นกราฟจึงเติบโต
• ถ้า $0 < b < 1$ ทุกก้าวที่เลื่อนไปทางขวาจะทำให้ค่าผลลัพธ์ถูกคูณด้วยเศษส่วน ดังนั้นกราฟจึงลดลง

ตัวอย่างเช่น $2^x$ เป็นการเติบโต เพราะแต่ละก้าวคูณด้วย $2$ แต่ $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ เป็นการลดลง เพราะแต่ละก้าวคูณด้วย $\frac{1}{2}$

กราฟเอ็กซ์โพเนนเชียลมีลักษณะอย่างไร

กราฟของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลพื้นฐานเป็นเส้นโค้งต่อเนื่อง ไม่ได้เป็นจุดที่แยกจากกัน มีลักษณะสำคัญบางอย่างที่ควรสังเกตตั้งแต่ต้น:

1. กราฟตัดเส้น $x = 0$ ที่ $f(0) = a$ เพราะ $b^0 = 1$
2. สำหรับรูปพื้นฐานที่มี $a > 0$ กราฟจะอยู่เหนือแกน $x$ ตลอด
3. เส้น $y = 0$ เป็นเส้นกำกับแนวนอน ดังนั้นกราฟจะเข้าใกล้แกน $x$ มากขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่แตะมัน
4. กราฟการเติบโตจะสูงขึ้นทางขวา ส่วนกราฟการลดลงจะต่ำลงทางขวา

ลักษณะเหล่านี้ช่วยให้คุณอ่านกราฟได้เร็ว ก่อนจะคำนวณหลาย ๆ จุด

ตัวอย่างทำโจทย์: วาดกราฟ $f(x) = 3 \cdot 2^x$

ตัวอย่างนี้แสดงสองแนวคิดสำคัญพร้อมกัน คือค่าเริ่มต้นและตัวคูณการเติบโต

$$f(x) = 3 \cdot 2^x$$

เริ่มจากหาค่าบางจุด:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & 3 & 6 & 12 \end{array}$$

ตอนนี้กราฟจะอ่านได้ง่ายขึ้น:

• จุดตัดแกน $y$ คือ $(0, 3)$ ดังนั้นค่าเริ่มต้นคือ $3$
• ทุกก้าวที่เลื่อนไปทางขวา ค่าผลลัพธ์จะเพิ่มเป็นสองเท่า เพราะฐานคือ $2$
• กราฟสูงขึ้นเร็วขึ้นเรื่อย ๆ แต่ทางซ้ายไกล ๆ ก็ยังเข้าใกล้ $y = 0$

ถ้าคุณเปลี่ยนฐานจาก $2$ เป็น $\frac{1}{2}$ รูปแบบเดียวกันนี้จะกลายเป็นการลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลแทนการเติบโต

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สับสนระหว่างฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลกับฟังก์ชันพหุนาม

$x^3$ ไม่ใช่ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เพราะตัวแปรอยู่ที่ฐาน แต่ใน $3^x$ ตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง จึงเป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

ลืมว่าฐานเป็นตัวกำหนดการเติบโตหรือการลดลง

ในรูปมาตรฐาน $a b^x$ ที่มี $a > 0$ การเติบโตหมายถึง $b > 1$ และการลดลงหมายถึง $0 < b < 1$ การเรียกแบบนี้ขึ้นอยู่กับฐาน ไม่ใช่ดูจากความรู้สึกคร่าว ๆ ว่ากราฟ “สุดท้ายแล้วสูงขึ้น”

ลืมค่าเริ่มต้น

ใน $f(x) = a b^x$ ค่าที่ $x = 0$ คือ $a$ นั่นคือปริมาณตั้งต้น

สับสนระหว่างตัวคูณกับเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลง

ถ้าปริมาณหนึ่งเติบโต $20\%$ ในแต่ละก้าว ตัวคูณคือ $1.2$ ไม่ใช่ $0.2$ ถ้าลดลง $20\%$ ในแต่ละก้าว ตัวคูณคือ $0.8$

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกใช้เมื่อไร

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใช้เมื่อการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นด้วยตัวคูณคงที่ในช่วงเวลาที่เท่ากัน ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่:

• ดอกเบี้ยทบต้น
• การเติบโตของประชากรภายใต้อัตราการเติบโตคงที่
• การสลายกัมมันตรังสี
• แบบจำลองการเย็นตัวและกระบวนการลดลงอื่น ๆ

ถ้าการเปลี่ยนแปลงเป็นแบบบวกเพิ่มทีละเท่า ๆ กัน ไม่ใช่แบบคูณ โดยทั่วไปแบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลจะไม่เหมาะ

ลองทำตัวอย่างคล้ายกันด้วยตัวเอง

ลองทำเวอร์ชันของคุณเองด้วย $f(x) = 5(0.7)^x$ คำนวณ $f(0)$, $f(1)$ และ $f(2)$ จากนั้นร่างกราฟและตรวจดูว่าค่าผลลัพธ์ลดลงด้วยตัวคูณเดิมในแต่ละก้าวหรือไม่ การเปลี่ยนเพียงฐานจาก $2$ เป็น $0.7$ ก็เพียงพอแล้วที่จะเห็นความต่างระหว่างการเติบโตกับการลดลงได้อย่างชัดเจน