อสมการกำลังสอง

อสมการกำลังสองคือการหาค่าทั้งหมดของ $x$ ที่ทำให้นิพจน์กำลังสองมีค่ามากกว่า น้อยกว่า อย่างน้อย หรืออย่างมาก เมื่อเทียบกับอีกค่าหนึ่ง วิธีแก้คือย้ายให้อีกข้างหนึ่งเป็น $0$ หาค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์ แล้วใช้ค่าเหล่านั้นเพื่อตัดสินว่าช่วงใดทำให้อสมการเป็นจริง

ตัวอย่างเช่น การแก้ $x^2 - 5x + 6 > 0$ หมายถึงการหาจำนวนจริงทุกค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นบวก ไม่ใช่แค่ค่าที่ทำให้นิพจน์เท่ากับ $0$

อสมการกำลังสองหมายถึงอะไร

อสมการกำลังสองเกี่ยวข้องกับนิพจน์ดีกรี $2$ และเครื่องหมายอสมการ เช่น

$$ax^2 + bx + c > 0$$

หรือ

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

โดยที่ $a \ne 0$

ความแตกต่างสำคัญจากสมการกำลังสองอยู่ที่เป้าหมาย สมการกำลังสองถามหาราก แต่อสมการกำลังสองถามหาช่วงหรือหลายช่วงที่นิพจน์กำลังสองมีค่ามากกว่า $0$ หรือน้อยกว่า $0$

วิธีแก้อสมการกำลังสอง

ค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์มีความสำคัญ เพราะเป็นจุดจริงเพียงจุดเดียวที่เครื่องหมายอาจเปลี่ยนได้ เมื่อหาค่าเหล่านี้ได้แล้ว ค่าดังกล่าวจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วงต่าง ๆ และในแต่ละช่วง นิพจน์กำลังสองจะคงเป็นบวกหรือลบตลอดทั้งช่วง

วิธีที่ใช้ได้อย่างแน่นอนคือ:

1. ย้ายทุกอย่างไปไว้ข้างเดียว เพื่อให้อีกข้างเป็น $0$
2. หาค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์ด้วยการแยกตัวประกอบหรือวิธีอื่น
3. ใช้ค่าเหล่านั้นแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วง
4. เลือกค่าหนึ่งค่าจากแต่ละช่วงมาทดสอบ หรือพิจารณาจากกราฟถ้ามองเห็นรากชัดเจน
5. เก็บช่วงที่ทำให้อสมการเป็นจริง

ถ้าเป็นอสมการแบบเข้ม เช่น $>$ หรือ $<$ ห้ามรวมค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์ แต่ถ้าเป็นอสมการแบบรวม เช่น $\ge$ หรือ $\le$ ให้รวมค่าดังกล่าวด้วย

ตัวอย่างทำโจทย์: $x^2 - 5x + 6 > 0$

นิพจน์กำลังสองนี้ถูกเปรียบเทียบกับ $0$ อยู่แล้ว ดังนั้นเริ่มจากการแยกตัวประกอบ:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

ตอนนี้ค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์คือ $x = 2$ และ $x = 3$ ซึ่งแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

ทดสอบค่าหนึ่งค่าจากแต่ละช่วง

เมื่อ $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

ดังนั้น $(-\infty, 2)$ ใช้ได้

เมื่อ $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

ดังนั้น $(2, 3)$ ใช้ไม่ได้

เมื่อ $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

ดังนั้น $(3, \infty)$ ใช้ได้

คำตอบคือ

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

เขียนในรูปสัญลักษณ์ช่วงได้เป็น

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

เนื่องจากอสมการเดิมคือ $>$ จึงไม่รวมจุดปลาย $2$ และ $3$

กราฟช่วยตรวจคำตอบอย่างรวดเร็วได้อย่างไร

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา คำตอบของ $ax^2 + bx + c > 0$ คือค่า $x$ ทุกค่าที่ทำให้พาราโบลาอยู่เหนือแกน $x$ และคำตอบของ $ax^2 + bx + c < 0$ คือค่า $x$ ทุกค่าที่ทำให้กราฟอยู่ใต้แกน $x$

วิธีนี้ช่วยตรวจคำตอบได้เร็วเมื่อสมการกำลังสองมีรากจริงสองราก:

• ถ้าพาราโบลาเปิดขึ้น มักจะเป็นบวกด้านนอกช่วงราก และเป็นลบระหว่างราก
• ถ้าพาราโบลาเปิดลง รูปแบบนี้จะสลับกัน

ทางลัดนี้ใช้ได้เมื่อสมการกำลังสองมีค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์ในจำนวนจริง ถ้าไม่มีรากจริง เครื่องหมายจะไม่สลับไปมาบนเส้นจำนวน ดังนั้นต้องอาศัยกราฟหรือสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดในการพิจารณา

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือแก้สมการที่เกี่ยวข้องแล้วหยุดแค่ที่ราก แต่รากมักเป็นเพียงขอบเขตของคำตอบ ไม่ใช่คำตอบทั้งหมด

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือรวมจุดปลายทั้งที่อสมการเป็นแบบเข้ม ใน $x^2 - 5x + 6 > 0$ ค่า $x = 2$ และ $x = 3$ ทำให้นิพจน์เท่ากับ $0$ ดังนั้นจึงไม่อยู่ในเซตคำตอบ

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือคิดว่าคำตอบต้องอยู่ระหว่างรากเสมอ ซึ่งจริง ๆ แล้วขึ้นอยู่กับว่าเราต้องการเครื่องหมายแบบใด และพาราโบลาเปิดขึ้นหรือเปิดลง

อสมการกำลังสองถูกใช้เมื่อใด

อสมการกำลังสองพบได้ในพีชคณิต การเขียนกราฟ การหาค่าเหมาะที่สุด และโจทย์ประยุกต์ที่มีข้อจำกัดต่าง ๆ อสมการชนิดนี้มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการช่วงของค่าที่ใช้ได้ แทนที่จะต้องการคำตอบที่แน่นอนเพียงค่าเดียว

ตัวอย่างเช่น อาจใช้บอกว่าเมื่อใดความสูงยังมากกว่าค่ากำหนด เมื่อใดแบบจำลองกำไรเป็นบวก หรือเมื่อใดสูตรยังอยู่ในช่วงที่อนุญาต

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแก้ $x^2 - 4x - 5 \le 0$ โดยเริ่มจากแยกตัวประกอบ ทำเครื่องหมายค่าที่ทำให้นิพจน์เป็นศูนย์ และตัดสินใจก่อนว่าควรรวมจุดปลายหรือไม่ จากนั้นจึงทดสอบแต่ละช่วง ถ้าต้องการตรวจอีกครั้ง ให้เปรียบเทียบคำตอบแบบช่วงกับกราฟ แล้วดูว่าทั้งสองวิธีให้ผลตรงกันหรือไม่