Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat meminta semua nilai $x$ yang membuat suatu bentuk kuadrat lebih besar dari, lebih kecil dari, setidaknya, atau paling banyak suatu nilai lain. Untuk menyelesaikannya, ubah dulu agar salah satu sisinya menjadi $0$, cari titik nolnya, lalu gunakan titik nol tersebut untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Sebagai contoh, menyelesaikan $x^2 - 5x + 6 > 0$ berarti mencari setiap bilangan real yang membuat bentuk itu bernilai positif, bukan hanya nilai saat bentuk itu sama dengan $0$.

Apa Arti Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat melibatkan bentuk berderajat-$2$ dan tanda pertidaksamaan seperti

$$ax^2 + bx + c > 0$$

atau

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

dengan $a \ne 0$.

Perbedaan utamanya dengan persamaan kuadrat terletak pada tujuannya. Persamaan kuadrat meminta akar-akarnya. Pertidaksamaan kuadrat meminta interval atau beberapa interval saat bentuk kuadrat berada di atas atau di bawah $0$.

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Titik nol penting karena itulah satu-satunya titik real tempat tanda bisa berubah. Setelah menemukannya, titik-titik itu membagi garis bilangan menjadi beberapa interval. Pada setiap interval, bentuk kuadrat akan tetap positif atau tetap negatif.

Metode yang andal adalah:

1. Pindahkan semua suku ke satu sisi sehingga sisi lainnya menjadi $0$.
2. Cari titik nol dengan pemfaktoran atau metode penyelesaian lain.
3. Gunakan titik nol untuk membagi garis bilangan menjadi beberapa interval.
4. Uji satu nilai dari setiap interval, atau gunakan grafik jika akarnya terlihat jelas.
5. Ambil interval yang membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Jika pertidaksamaannya ketat, seperti $>$ atau $<$, jangan sertakan titik nol. Jika inklusif, seperti $\ge$ atau $\le$, sertakan titik nol tersebut.

Contoh Dikerjakan: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Bentuk kuadratnya sudah dibandingkan dengan $0$, jadi mulai dengan memfaktorkan:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Sekarang titik nolnya adalah $x = 2$ dan $x = 3$. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Uji satu nilai dari setiap interval.

Untuk $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Jadi $(-\infty, 2)$ memenuhi.

Untuk $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Jadi $(2, 3)$ tidak memenuhi.

Untuk $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Jadi $(3, \infty)$ memenuhi.

Penyelesaiannya adalah

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

Dalam notasi interval, itu adalah

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Karena pertidaksamaan asalnya adalah $>$, titik ujung $2$ dan $3$ tidak disertakan.

Bagaimana Grafik Memberi Pengecekan Cepat

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Penyelesaian dari $ax^2 + bx + c > 0$ adalah setiap nilai $x$ saat parabola berada di atas sumbu-$x$. Penyelesaian dari $ax^2 + bx + c < 0$ adalah setiap nilai $x$ saat parabola berada di bawah sumbu-$x$.

Ini memberi pengecekan cepat saat bentuk kuadrat memiliki dua akar real:

• Jika parabola terbuka ke atas, nilainya sering positif di luar akar-akar dan negatif di antara keduanya.
• Jika parabola terbuka ke bawah, pola itu menjadi kebalikannya.

Jalan pintas ini bergantung pada bentuk kuadrat yang memiliki titik nol real. Jika tidak ada titik nol real, tandanya tidak berubah di sepanjang garis bilangan, jadi kamu harus menentukannya dari grafik atau dari koefisien utama.

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

Kesalahan yang paling umum adalah menyelesaikan persamaan terkait lalu berhenti pada akar-akarnya. Akar biasanya merupakan batas jawaban, bukan seluruh jawabannya.

Kesalahan lain adalah menyertakan titik ujung saat pertidaksamaannya ketat. Pada $x^2 - 5x + 6 > 0$, nilai $x = 2$ dan $x = 3$ membuat bentuk itu sama dengan $0$, jadi keduanya tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

Kesalahan ketiga adalah menganggap jawabannya selalu berada di antara akar-akar. Itu bergantung pada tanda yang dicari dan pada apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah.

Kapan Pertidaksamaan Kuadrat Digunakan

Pertidaksamaan kuadrat muncul dalam aljabar, penggambaran grafik, optimasi, dan soal terapan yang melibatkan batas. Ini berguna saat kamu memerlukan rentang masukan yang valid, bukan satu jawaban pasti.

Sebagai contoh, pertidaksamaan kuadrat dapat menggambarkan kapan suatu tinggi tetap berada di atas ambang tertentu, kapan model keuntungan bernilai positif, atau kapan suatu rumus tetap berada dalam daerah yang diizinkan.

Coba Soal Serupa

Coba selesaikan $x^2 - 4x - 5 \le 0$. Faktorkan terlebih dahulu, tandai titik nolnya, lalu tentukan apakah titik ujung termasuk sebelum kamu menguji interval-intervalnya. Jika ingin pengecekan lain, bandingkan jawaban intervalmu dengan grafiknya dan lihat apakah kedua metode memberi hasil yang sama.