Quadratische Ungleichung

Eine quadratische Ungleichung fragt nach allen Werten von $x$, für die ein quadratischer Ausdruck größer, kleiner, mindestens so groß oder höchstens so groß wie ein anderer Wert ist. Um sie zu lösen, formt man sie so um, dass auf einer Seite $0$ steht, bestimmt die Nullstellen und nutzt diese, um zu entscheiden, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Zum Beispiel bedeutet das Lösen von $x^2 - 5x + 6 > 0$, alle reellen Zahlen zu finden, für die der Ausdruck positiv ist, und nicht nur die Werte, bei denen er gleich $0$ ist.

Was eine quadratische Ungleichung bedeutet

Eine quadratische Ungleichung enthält einen Ausdruck zweiten Grades und ein Ungleichheitszeichen wie

$$ax^2 + bx + c > 0$$

oder

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

mit $a \ne 0$.

Der wichtigste Unterschied zu einer quadratischen Gleichung liegt im Ziel. Bei einer quadratischen Gleichung sucht man die Nullstellen. Bei einer quadratischen Ungleichung sucht man das Intervall oder die Intervalle, in denen die quadratische Funktion über oder unter $0$ bleibt.

So löst man eine quadratische Ungleichung

Die Nullstellen sind wichtig, weil nur an diesen reellen Stellen das Vorzeichen wechseln kann. Sobald man sie gefunden hat, teilen sie die Zahlengerade in Intervalle. In jedem Intervall bleibt der quadratische Ausdruck entweder positiv oder negativ.

Eine zuverlässige Methode ist:

1. Bringe alles auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite $0$ steht.
2. Bestimme die Nullstellen durch Faktorisieren oder mit einer anderen Lösungsmethode.
3. Nutze die Nullstellen, um die Zahlengerade in Intervalle zu teilen.
4. Prüfe einen Wert aus jedem Intervall oder argumentiere mit dem Graphen, wenn die Nullstellen klar sind.
5. Behalte die Intervalle, für die die Ungleichung wahr ist.

Ist die Ungleichung streng, also wie $>$ oder $<$, dann werden die Nullstellen nicht mit einbezogen. Ist sie nicht streng, also wie $\ge$ oder $\le$, dann gehören sie dazu.

Beispiel: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Die quadratische Ungleichung ist bereits mit $0$ verglichen, also beginnen wir mit dem Faktorisieren:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Die Nullstellen sind also $x = 2$ und $x = 3$. Sie teilen die Zahlengerade in drei Intervalle:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Prüfe nun einen Wert aus jedem Intervall.

Für $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Also funktioniert $(-\infty, 2)$.

Für $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Also funktioniert $(2, 3)$ nicht.

Für $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Also funktioniert $(3, \infty)$.

Die Lösungsmenge ist

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

In Intervallschreibweise ist das

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Weil die ursprüngliche Ungleichung $>$ ist, werden die Randpunkte $2$ und $3$ nicht mit einbezogen.

Wie der Graph eine schnelle Kontrolle liefert

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Eine Lösung von $ax^2 + bx + c > 0$ ist jeder $x$-Wert, bei dem die Parabel oberhalb der $x$-Achse liegt. Eine Lösung von $ax^2 + bx + c < 0$ ist jeder $x$-Wert, bei dem sie unterhalb der $x$-Achse liegt.

Das ermöglicht eine schnelle Kontrolle, wenn die quadratische Funktion zwei reelle Nullstellen hat:

• Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, ist sie oft außerhalb der Nullstellen positiv und dazwischen negativ.
• Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, kehrt sich dieses Muster um.

Diese Abkürzung funktioniert nur, wenn die quadratische Funktion reelle Nullstellen hat. Gibt es keine reellen Nullstellen, wechselt das Vorzeichen auf der Zahlengerade nicht, sodass man mit dem Graphen oder dem Leitkoeffizienten argumentieren muss.

Häufige Fehler, die du vermeiden solltest

Der häufigste Fehler ist, die zugehörige Gleichung zu lösen und dann bei den Nullstellen aufzuhören. Die Nullstellen sind meist die Grenzen der Lösung, nicht die vollständige Lösung.

Ein weiterer Fehler ist, Randpunkte einzuschließen, obwohl die Ungleichung streng ist. Bei $x^2 - 5x + 6 > 0$ machen die Werte $x = 2$ und $x = 3$ den Ausdruck gleich $0$, also gehören sie nicht zur Lösungsmenge.

Ein dritter Fehler ist die Annahme, dass die Lösung immer zwischen den Nullstellen liegt. Das hängt davon ab, welches Vorzeichen gesucht ist und ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist.

Wann quadratische Ungleichungen verwendet werden

Quadratische Ungleichungen kommen in der Algebra, beim Zeichnen von Graphen, in der Optimierung und in angewandten Problemen mit Grenzen vor. Sie sind nützlich, wenn man einen Bereich zulässiger Eingaben statt einer einzigen exakten Antwort braucht.

Zum Beispiel können sie beschreiben, wann eine Höhe über einem Schwellenwert bleibt, wann ein Gewinnmodell positiv ist oder wann eine Formel innerhalb eines erlaubten Bereichs bleibt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, $x^2 - 4x - 5 \le 0$ zu lösen. Faktorisiere zuerst, markiere die Nullstellen und entscheide, ob die Randpunkte dazugehören, bevor du die Intervalle prüfst. Wenn du noch eine Kontrolle möchtest, vergleiche deine Intervalllösung mit dem Graphen und prüfe, ob beide Methoden übereinstimmen.