สูตรอสมการเชิงเส้น

อสมการเชิงเส้นไม่ได้มี "สูตรเดียว" แบบตายตัวเหมือนพื้นที่วงกลม แต่มีรูปแบบมาตรฐานที่เจอบ่อย เช่น $ax + b < c$, $ax + b > c$, $ax + b \le c$ หรือ $ax + b \ge c$ โดยในโจทย์หนึ่งตัวแปรจะมีเงื่อนไขว่า $a \ne 0$ และตัวแปรมีเลขชี้กำลังเป็น $1$

สิ่งที่ต้องจำให้แม่นมีอยู่ข้อเดียว: แก้อสมการคล้ายการแก้สมการ แต่ถ้าคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ

อสมการเชิงเส้นคืออะไร

อสมการเชิงเส้นคือประโยคเปรียบเทียบที่บอกว่าอีกข้าง "มากกว่า", "น้อยกว่า", "มากกว่าหรือเท่ากับ" หรือ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" อีกข้างหนึ่ง โดยตัวแปรอยู่ในรูปเชิงเส้น

ตัวอย่างที่เป็นอสมการเชิงเส้น:

• $3x - 2 < 10$
• $5 - x \ge 1$
• $2y + 7 \le 15$

ตัวอย่างที่ไม่ใช่อสมการเชิงเส้น:

• $x^2 > 4$
• $\frac{1}{x} \le 3$

เหตุผลคือในสองตัวอย่างหลัง ตัวแปรไม่ได้อยู่กำลังหนึ่งแบบเชิงเส้น

รูปแบบที่มักเรียกว่า "สูตร"

เวลานักเรียนค้นว่า "สูตรอสมการเชิงเส้น" ส่วนมากจริง ๆ กำลังหา 2 อย่างนี้

$$ax + b < c$$

หรือในภาพรวมกว่านั้น

$$ax + b \; \square \; c$$

โดย $\square$ อาจเป็น $<$, $>$, $\le$, หรือ $\ge$

รูปนี้ช่วยให้เห็นขั้นตอนมาตรฐานได้ทันที:

1. ย้าย $b$ ออกจากข้างที่มีตัวแปร
2. หารด้วย $a$
3. ถ้า $a < 0$ ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ

วิธีคิดแบบสั้นที่สุด

ให้มองว่าเป้าหมายคือแยกตัวแปรออกมาให้อยู่ลำพัง เหมือนแก้สมการทั่วไป

• บวกจำนวนเท่ากันทั้งสองข้างได้
• ลบจำนวนเท่ากันทั้งสองข้างได้
• คูณทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวกได้โดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
• หารทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวกได้โดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
• ถ้าคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมาย

เหตุผลคือจำนวนลบทำให้ลำดับบนเส้นจำนวนกลับทิศ เช่น ถ้า $3 < 5$ เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย $-1$ จะได้ $-3 > -5$

ตัวอย่างทำทีละขั้น

แก้อสมการ

$$-2x + 3 > 11$$

เริ่มจากย้าย $3$ ออกไปโดยลบ $3$ ทั้งสองข้าง

$$-2x > 8$$

จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย $-2$ จะได้

$$x < -4$$

เครื่องหมายต้องกลับจาก $>$ เป็น $<$ เพราะเราหารด้วยจำนวนลบ

ลองเช็กด้วยค่าในคำตอบ เช่น $x = -5$

$$-2(-5) + 3 = 13$$

และ $13 > 11$ เป็นจริง แปลว่าคำตอบสอดคล้องกับโจทย์

จุดที่ชอบพลาด

ลืมกลับเครื่องหมาย

ข้อนี้พบบ่อยที่สุด ถ้าได้จาก $-2x > 8$ แล้วเขียนต่อเป็น $x > -4$ จะผิดทันที

คิดว่าคำตอบมีแค่ค่าเดียว

อสมการมักมีคำตอบเป็นช่วงของค่า เช่น $x < -4$ ไม่ได้หมายถึงมีคำตอบแค่ $-5$ หรือ $-6$ แต่หมายถึงทุกค่าที่น้อยกว่า $-4$

หารด้วยนิพจน์ที่ยังไม่รู้เครื่องหมาย

ถ้าจะหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร เช่น $x - 1$ เราจะยังตัดสินใจไม่ได้ทันทีว่าจะกลับเครื่องหมายหรือไม่ จนกว่าจะรู้ว่านิพจน์นั้นเป็นบวกหรือลบในกรณีใด

อสมการเชิงเส้นใช้เมื่อไร

อสมการเชิงเส้นใช้เมื่อโจทย์ไม่ได้ถามหาค่าเดียว แต่ถาม "ช่วงที่เป็นไปได้" เช่น

• คะแนนอย่างน้อยเท่าไรจึงผ่าน
• ต้องมีเงินไม่เกินเท่าไรจึงยังอยู่ในงบ
• ความยาวหรือเวลาต้องมากกว่าค่าขั้นต่ำเท่าไร

จึงเป็นหัวข้อที่สำคัญทั้งในพีชคณิตพื้นฐาน การอ่านกราฟ และการตั้งเงื่อนไขในโจทย์ประยุกต์

สรุปให้จำเร็ว

ถ้าจะสรุป "สูตรอสมการเชิงเส้น" แบบสั้นที่สุด ให้จำว่าอสมการหนึ่งตัวแปรมักอยู่ในรูป $ax + b \; \square \; c$ และวิธีแก้คือแยกตัวแปรออกมาเหมือนสมการทั่วไป แต่ต้องกลับเครื่องหมายเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ

ลองทำต่อเอง

ลองแก้โจทย์นี้ด้วยตัวเอง:

$$5x - 7 \le 18$$

จากนั้นลองอีกข้อที่มีจำนวนลบหน้าตัวแปร:

$$-3x + 4 \ge 1$$

ถ้าต้องการฝึกต่อ ลองสร้างโจทย์ของตัวเองในรูป $ax + b \; \square \; c$ แล้วเช็กทุกครั้งว่าขั้นตอนไหนควรกลับเครื่องหมายอสมการ