二次不等式

二次不等式要求找出所有使二次表达式大于、小于、不小于或不大于另一个值的 $x$。求解时，先把式子整理成一边为 $0$，再找出零点，并用这些零点判断哪些区间满足不等式。

例如，求解 $x^2 - 5x + 6 > 0$，就是找出所有使这个表达式为正的实数，而不只是找出使它等于 $0$ 的值。

二次不等式的含义

二次不等式包含一个二次表达式和一个不等号，例如

$$ax^2 + bx + c > 0$$

或

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

其中 $a \ne 0$。

它与二次方程的关键区别在于目标不同。二次方程要求求出根，而二次不等式要求找出二次式在什么区间内始终大于或小于 $0$。

如何求解二次不等式

零点之所以重要，是因为它们是实数范围内符号可能发生变化的唯一点。找到零点后，它们会把数轴分成若干区间。在每个区间上，二次式要么恒为正，要么恒为负。

一种可靠的方法是：

1. 把所有项移到一边，使另一边为 $0$。
2. 通过因式分解或其他方法求出零点。
3. 用零点把数轴分成若干区间。
4. 在每个区间中选一个值检验，或者在根很明显时根据图像判断。
5. 保留使不等式成立的区间。

如果是不严格不等式，如 $>$ 或 $<$，不要包含零点。如果是包含等号的不等式，如 $\ge$ 或 $\le$，则要包含零点。

例题：$x^2 - 5x + 6 > 0$

这个二次式已经是与 $0$ 比较，所以先因式分解：

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

现在零点是 $x = 2$ 和 $x = 3$。它们把数轴分成三个区间：

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

从每个区间各取一个值检验。

当 $x = 0$ 时：

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

所以 $(-\infty, 2)$ 成立。

当 $x = 2.5$ 时：

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

所以 $(2, 3)$ 不成立。

当 $x = 4$ 时：

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

所以 $(3, \infty)$ 成立。

因此，解为

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

用区间表示法写为

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

因为原不等式是 $>$，所以端点 $2$ 和 $3$ 不包含在解集中。

如何通过图像快速检验

二次函数的图像是一条抛物线。对于 $ax^2 + bx + c > 0$，解就是抛物线位于 $x$ 轴上方时对应的所有 $x$ 值。对于 $ax^2 + bx + c < 0$，解就是它位于 $x$ 轴下方时对应的所有 $x$ 值。

当二次式有两个实根时，这能提供一种快速检验方法：

• 如果抛物线开口向上，通常在两根之外为正，在两根之间为负。
• 如果抛物线开口向下，这个规律则相反。

这个快捷方法依赖于二次式有实零点。如果没有实零点，那么符号不会在数轴上发生变化，因此你必须根据图像或二次项系数来判断。

需要避免的常见错误

最常见的错误是只解对应的方程，找到根后就停止。根通常只是答案的边界，而不是完整答案。

另一个错误是在严格不等式中包含端点。在 $x^2 - 5x + 6 > 0$ 中，$x = 2$ 和 $x = 3$ 会使表达式等于 $0$，所以它们不属于解集。

第三个错误是认为答案一定在两根之间。实际情况取决于你要求的是正还是负，以及抛物线是开口向上还是向下。

二次不等式的应用场景

二次不等式会出现在代数、图像分析、最优化以及带有限制条件的应用题中。当你需要的是一段有效输入范围，而不是一个精确答案时，它就很有用。

例如，它可以描述高度何时高于某个阈值、利润模型何时为正，或者某个公式何时保持在允许范围内。

试做一道类似题

试着求解 $x^2 - 4x - 5 \le 0$。先因式分解，标出零点，再在检验各区间之前判断端点是否属于解集。如果你想再核对一次，可以把你的区间答案和图像进行比较，看看两种方法是否一致。