Inecuación cuadrática

Una inecuación cuadrática pide todos los valores de $x$ que hacen que una expresión cuadrática sea mayor que, menor que, al menos o como máximo otro valor. Para resolverla, reescríbela de modo que un lado sea $0$, encuentra los ceros y usa esos ceros para decidir qué intervalos satisfacen la inecuación.

Por ejemplo, resolver $x^2 - 5x + 6 > 0$ significa encontrar todos los números reales que hacen positiva la expresión, no solo los valores donde es igual a $0$.

Qué Significa Una Inecuación Cuadrática

Una inecuación cuadrática incluye una expresión de grado $2$ y un signo de desigualdad como

$$ax^2 + bx + c > 0$$

o

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

con $a \ne 0$.

La diferencia clave con una ecuación cuadrática está en el objetivo. Una ecuación cuadrática pide las raíces. Una inecuación cuadrática pide el intervalo o los intervalos donde la cuadrática se mantiene por encima o por debajo de $0$.

Cómo Resolver Una Inecuación Cuadrática

Los ceros importan porque son los únicos puntos reales donde el signo puede cambiar. Una vez que los encuentras, dividen la recta numérica en intervalos. En cada intervalo, la cuadrática se mantiene positiva o negativa.

Un método confiable es:

1. Pasa todo a un lado para que el otro lado sea $0$.
2. Encuentra los ceros factorizando o con otro método de resolución.
3. Usa los ceros para dividir la recta numérica en intervalos.
4. Prueba un valor de cada intervalo, o razona a partir de la gráfica si las raíces son claras.
5. Conserva los intervalos que hacen verdadera la inecuación.

Si la desigualdad es estricta, como $>$ o $<$, no incluyas los ceros. Si es inclusiva, como $\ge$ o $\le$, sí inclúyelos.

Ejemplo Resuelto: $x^2 - 5x + 6 > 0$

La cuadrática ya está comparada con $0$, así que empieza factorizando:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Ahora los ceros son $x = 2$ y $x = 3$. Estos dividen la recta numérica en tres intervalos:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Prueba un valor de cada intervalo.

Para $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Entonces $(-\infty, 2)$ funciona.

Para $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Entonces $(2, 3)$ no funciona.

Para $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Entonces $(3, \infty)$ funciona.

La solución es

$$x < 2 \text{ o } x > 3.$$

En notación de intervalos, eso es

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Como la inecuación original es $>$, los extremos $2$ y $3$ no se incluyen.

Cómo La Gráfica Da Una Comprobación Rápida

La gráfica de una cuadrática es una parábola. Una solución de $ax^2 + bx + c > 0$ es cualquier valor de $x$ donde la parábola está por encima del eje $x$. Una solución de $ax^2 + bx + c < 0$ es cualquier valor de $x$ donde está por debajo del eje $x$.

Esto da una comprobación rápida cuando la cuadrática tiene dos raíces reales:

• Si la parábola abre hacia arriba, a menudo es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas.
• Si la parábola abre hacia abajo, ese patrón se invierte.

Este atajo depende de que la cuadrática tenga ceros reales. Si no hay ceros reales, el signo no cambia a lo largo de la recta numérica, así que debes razonar a partir de la gráfica o del coeficiente principal.

Errores Comunes Que Debes Evitar

El error más común es resolver la ecuación relacionada y detenerse en las raíces. Las raíces suelen ser los límites de la respuesta, no la respuesta completa.

Otro error es incluir los extremos cuando la desigualdad es estricta. En $x^2 - 5x + 6 > 0$, los valores $x = 2$ y $x = 3$ hacen que la expresión sea igual a $0$, así que no pertenecen al conjunto solución.

Un tercer error es suponer que la respuesta siempre está entre las raíces. Eso depende del signo que buscas y de si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Cuándo Se Usan Las Inecuaciones Cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas aparecen en álgebra, graficación, optimización y problemas aplicados con límites. Son útiles cuando necesitas un rango de entradas válidas en lugar de una sola respuesta exacta.

Por ejemplo, pueden describir cuándo una altura se mantiene por encima de un umbral, cuándo un modelo de ganancia es positivo o cuándo una fórmula se mantiene dentro de una región permitida.

Prueba Un Problema Similar

Intenta resolver $x^2 - 4x - 5 \le 0$. Factoriza primero, marca los ceros y decide si los extremos pertenecen a la solución antes de probar los intervalos. Si quieres otra comprobación, compara tu respuesta en intervalos con la gráfica y observa si ambos métodos coinciden.