이차부등식

이차부등식은 이차식이 어떤 값보다 크거나, 작거나, 이상이거나, 이하가 되게 하는 모든 $x$값을 구하는 문제입니다. 이를 풀려면 한쪽을 $0$으로 정리하고, 영점을 찾은 뒤, 그 영점을 기준으로 어떤 구간이 부등식을 만족하는지 판단합니다.

예를 들어 $x^2 - 5x + 6 > 0$을 푼다는 것은 식의 값이 $0$이 되는 값만 찾는 것이 아니라, 식이 양수가 되게 하는 모든 실수를 찾는다는 뜻입니다.

이차부등식의 의미

이차부등식은 차수가 $2$인 식과 다음과 같은 부등호를 포함합니다.

$$ax^2 + bx + c > 0$$

또는

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

여기서 $a \ne 0$입니다.

이차방정식과의 핵심 차이는 목표에 있습니다. 이차방정식은 근을 구하는 문제입니다. 이차부등식은 이차식이 $0$보다 위에 있거나 아래에 있는 구간을 구하는 문제입니다.

이차부등식 푸는 방법

영점이 중요한 이유는 부호가 바뀔 수 있는 유일한 실수 지점이기 때문입니다. 영점을 찾으면 수직선이 여러 구간으로 나뉩니다. 각 구간에서 이차식의 부호는 항상 양수이거나 항상 음수입니다.

믿고 쓸 수 있는 방법은 다음과 같습니다.

1. 모든 항을 한쪽으로 이항해서 다른 쪽이 $0$이 되게 합니다.
2. 인수분해나 다른 풀이 방법으로 영점을 찾습니다.
3. 영점을 기준으로 수직선을 여러 구간으로 나눕니다.
4. 각 구간에서 한 값을 대입해 보거나, 근이 분명하면 그래프를 보고 판단합니다.
5. 부등식을 참으로 만드는 구간만 남깁니다.

부등식이 $>$ 또는 $<$처럼 엄격하면 영점은 포함하지 않습니다. $\ge$ 또는 $\le$처럼 같음이 포함되면 영점도 포함합니다.

풀이 예시: $x^2 - 5x + 6 > 0$

이 이차식은 이미 $0$과 비교되어 있으므로, 바로 인수분해부터 합니다.

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

이제 영점은 $x = 2$와 $x = 3$입니다. 이 값들은 수직선을 세 구간으로 나눕니다.

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

각 구간에서 한 값을 골라 확인합니다.

$x = 0$일 때:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

따라서 $(-\infty, 2)$는 해가 됩니다.

$x = 2.5$일 때:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

따라서 $(2, 3)$는 해가 아닙니다.

$x = 4$일 때:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

따라서 $(3, \infty)$는 해가 됩니다.

해는

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

입니다.

구간 표기로 쓰면

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

입니다.

원래 부등식이 $>$이므로 끝값인 $2$와 $3$은 포함되지 않습니다.

그래프로 빠르게 확인하는 방법

이차함수의 그래프는 포물선입니다. $ax^2 + bx + c > 0$의 해는 포물선이 $x$축 위에 있는 모든 $x$값입니다. $ax^2 + bx + c < 0$의 해는 포물선이 $x$축 아래에 있는 모든 $x$값입니다.

이 방법은 이차식이 서로 다른 두 실근을 가질 때 빠른 확인에 도움이 됩니다.

• 포물선이 위로 열리면, 보통 근의 바깥쪽에서는 양수이고 근 사이에서는 음수입니다.
• 포물선이 아래로 열리면, 그 패턴이 반대로 바뀝니다.

이 지름길은 이차식이 실근을 가질 때에만 바로 적용됩니다. 실근이 없으면 수직선 전체에서 부호가 바뀌지 않으므로, 그래프나 최고차항의 계수를 보고 판단해야 합니다.

자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 관련된 이차방정식을 풀고 근만 답으로 쓰는 것입니다. 근은 보통 답 전체가 아니라 해의 경계입니다.

또 다른 실수는 엄격한 부등식인데도 끝값을 포함하는 것입니다. $x^2 - 5x + 6 > 0$에서 $x = 2$와 $x = 3$은 식의 값을 $0$으로 만들기 때문에 해집합에 들어가지 않습니다.

세 번째 실수는 답이 항상 두 근 사이에 있다고 생각하는 것입니다. 이는 어떤 부호를 원하는지, 그리고 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지에 따라 달라집니다.

이차부등식이 쓰이는 경우

이차부등식은 대수, 그래프 해석, 최적화, 그리고 제한 조건이 있는 응용 문제에서 나타납니다. 하나의 정확한 답이 아니라 가능한 입력값의 범위가 필요할 때 유용합니다.

예를 들어, 높이가 어떤 기준보다 위에 있는 구간, 이익 모형이 양수가 되는 구간, 또는 식이 허용된 영역 안에 머무는 범위를 나타낼 수 있습니다.

비슷한 문제 풀어 보기

$x^2 - 4x - 5 \le 0$을 직접 풀어 보세요. 먼저 인수분해하고, 영점을 표시한 뒤, 구간을 검사하기 전에 끝값이 포함되는지 판단해 보세요. 한 번 더 확인하고 싶다면, 구간으로 구한 답을 그래프와 비교해서 두 방법의 결과가 같은지 살펴보세요.