Disequazione di secondo grado

Una disequazione di secondo grado chiede di trovare tutti i valori di $x$ che rendono un’espressione quadratica maggiore, minore, almeno uguale o al massimo uguale a un altro valore. Per risolverla, si riscrive in modo che un lato sia $0$, si trovano gli zeri e si usano questi zeri per stabilire quali intervalli soddisfano la disequazione.

Per esempio, risolvere $x^2 - 5x + 6 > 0$ significa trovare tutti i numeri reali che rendono positiva l’espressione, non solo i valori per cui è uguale a $0$.

Cosa Significa Una Disequazione Di Secondo Grado

Una disequazione di secondo grado coinvolge un’espressione di grado $2$ e un segno di disuguaglianza come

$$ax^2 + bx + c > 0$$

oppure

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

con $a \ne 0$.

La differenza principale rispetto a un’equazione di secondo grado sta nell’obiettivo. Un’equazione di secondo grado chiede di trovare le radici. Una disequazione di secondo grado chiede di trovare l’intervallo o gli intervalli in cui il trinomio resta sopra o sotto $0$.

Come Risolvere Una Disequazione Di Secondo Grado

Gli zeri sono importanti perché sono gli unici punti reali in cui il segno può cambiare. Una volta trovati, dividono la retta reale in intervalli. In ciascun intervallo, il trinomio resta sempre positivo oppure sempre negativo.

Un metodo affidabile è:

1. Porta tutto da una parte in modo che dall’altra ci sia $0$.
2. Trova gli zeri scomponendo in fattori o con un altro metodo risolutivo.
3. Usa gli zeri per dividere la retta reale in intervalli.
4. Prova un valore per ogni intervallo, oppure ragiona dal grafico se le radici sono chiare.
5. Tieni gli intervalli che rendono vera la disequazione.

Se la disequazione è stretta, come $>$ o $<$, non includere gli zeri. Se è larga, come $\ge$ o $\le$, includili.

Esempio Svolto: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Il trinomio è già confrontato con $0$, quindi iniziamo scomponendo in fattori:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Ora gli zeri sono $x = 2$ e $x = 3$. Questi dividono la retta reale in tre intervalli:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Proviamo un valore per ogni intervallo.

Per $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Quindi $(-\infty, 2)$ va bene.

Per $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Quindi $(2, 3)$ non va bene.

Per $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Quindi $(3, \infty)$ va bene.

La soluzione è

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

In notazione per intervalli, è

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Poiché la disequazione iniziale è $>$, gli estremi $2$ e $3$ non sono inclusi.

Come Il Grafico Permette Un Controllo Rapido

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. Una soluzione di $ax^2 + bx + c > 0$ è qualunque valore di $x$ per cui la parabola sta sopra l’asse $x$. Una soluzione di $ax^2 + bx + c < 0$ è qualunque valore di $x$ per cui sta sotto l’asse $x$.

Questo offre un controllo veloce quando il trinomio ha due radici reali:

• Se la parabola è rivolta verso l’alto, spesso è positiva fuori dalle radici e negativa tra esse.
• Se la parabola è rivolta verso il basso, questo schema si inverte.

Questa scorciatoia dipende dal fatto che il trinomio abbia zeri reali. Se non ci sono zeri reali, il segno non cambia lungo la retta reale, quindi bisogna ragionare dal grafico o dal coefficiente principale.

Errori Comuni Da Evitare

L’errore più comune è risolvere l’equazione associata e fermarsi alle radici. Le radici di solito sono i confini della risposta, non la risposta completa.

Un altro errore è includere gli estremi quando la disequazione è stretta. In $x^2 - 5x + 6 > 0$, i valori $x = 2$ e $x = 3$ rendono l’espressione uguale a $0$, quindi non appartengono all’insieme soluzione.

Un terzo errore è pensare che la risposta sia sempre compresa tra le radici. Dipende dal segno richiesto e dal fatto che la parabola sia rivolta verso l’alto o verso il basso.

Quando Si Usano Le Disequazioni Di Secondo Grado

Le disequazioni di secondo grado compaiono in algebra, nello studio dei grafici, nell’ottimizzazione e in problemi applicati con vincoli. Sono utili quando serve un intervallo di valori ammessi invece di una sola risposta esatta.

Per esempio, possono descrivere quando un’altezza resta sopra una soglia, quando un modello di profitto è positivo oppure quando una formula resta entro una regione consentita.

Prova Un Problema Simile

Prova a risolvere $x^2 - 4x - 5 \le 0$. Scomponi prima in fattori, segna gli zeri e decidi se gli estremi appartengono alla soluzione prima di testare gli intervalli. Se vuoi un altro controllo, confronta la tua risposta in forma di intervalli con il grafico e verifica se i due metodi coincidono.