สูตรกำลังสอง

สูตรกำลังสองใช้แก้สมการกำลังสองที่อยู่ในรูปมาตรฐาน:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ใช้กับสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ โดยที่ $a \ne 0$ ถ้าสมการกำลังสองแยกตัวประกอบได้ง่าย การแยกตัวประกอบมักจะเร็วกว่า แต่ถ้าแยกได้ไม่สะดวก สูตรกำลังสองเป็นวิธีที่เชื่อถือได้และยังใช้ได้เสมอ

สูตรกำลังสองบอกอะไรได้บ้าง

สูตรนี้ให้ค่าของ $x$ ที่ทำให้สมการกำลังสองมีค่าเท่ากับศูนย์ ในสมการ $ax^2 + bx + c = 0$ ตัวเลข $a$, $b$ และ $c$ คือสัมประสิทธิ์ที่ต้องนำไปแทนในสูตร

ส่วนที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง

$$b^2 - 4ac$$

เรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ ซึ่งช่วยให้คุณคาดเดาลักษณะของคำตอบได้ก่อนคำนวณเสร็จ:

1. ถ้า $b^2 - 4ac > 0$ จะมีคำตอบจริง 2 คำตอบที่แตกต่างกัน
2. ถ้า $b^2 - 4ac = 0$ จะมีคำตอบจริงซ้ำ 1 คำตอบ
3. ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ จะไม่มีคำตอบจริง ในกรณีนั้นคำตอบจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

การตรวจแบบรวดเร็วนี้มีประโยชน์ เพราะช่วยให้รู้ล่วงหน้าว่าควรคาดหวังคำตอบแบบใดจากสูตร

ทำไมสูตรนี้จึงใช้ได้

สมการกำลังสองอาจมีค่า $x$ ได้มากที่สุด 2 ค่า ที่ทำให้กราฟตัดแกน $x$ สูตรกำลังสองเป็นผลลัพธ์ทั่วไปที่ได้จากการทำกำลังสองสมบูรณ์ จึงให้จุดตัดเหล่านั้นได้โดยตรงโดยไม่ต้องเดาตัวประกอบ

คุณไม่จำเป็นต้องพิสูจน์สูตรใหม่ทุกครั้ง ในการใช้งานจริง สิ่งสำคัญคือระบุค่า $a$, $b$ และ $c$ ให้ถูกต้อง และระวังเครื่องหมายให้ดี

ตัวอย่างโจทย์: แก้สมการ $2x^2 + 3x - 2 = 0$

เริ่มจากระบุค่าสัมประสิทธิ์:

$$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2$$

จากนั้นแทนค่า:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$$

คำนวณในรากที่สองก่อน:

$$3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

ดังนั้นสูตรจะเป็น

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$

ตอนนี้คำนวณทั้งสองกรณี:

$$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

ดังนั้นคำตอบคือ

$$x = \frac{1}{2} \quad \text{and} \quad x = -2$$

คุณสามารถตรวจสอบรากตัวหนึ่งได้ด้วยการแทนค่า เมื่อ $x = \frac{1}{2}$

$$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$

จึงยืนยันได้ว่าค่านี้ใช้ได้จริง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้สูตรกำลังสอง

1. ไม่เขียนสมการให้อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ก่อน ถ้าข้างขวาไม่เป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์ก็ยังไม่พร้อมสำหรับการใช้สูตร
2. ทำเครื่องหมายของ $b$ หรือ $c$ หายไป ถ้า $b = -7$ แล้ว $-b = 7$ ไม่ใช่ $-7$
3. ลืมว่าตัวส่วนคือ $2a$ ทั้งหมด ตัวเศษทั้งหมด $-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$ ต้องอยู่เหนือ $2a$
4. คำนวณเพียงกรณีเดียว เครื่องหมาย $\pm$ หมายความว่าต้องตรวจทั้งกรณีบวกและกรณีลบ
5. คำนวณผิดในดิสคริมิแนนต์ ความผิดพลาดเล็กน้อยเรื่องเครื่องหมายตรงนั้นจะทำให้คำตอบเปลี่ยนทั้งหมด

ควรใช้สูตรกำลังสองเมื่อไร

สูตรกำลังสองมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อ:

1. สมการกำลังสองแยกตัวประกอบได้ไม่ลงตัว
2. คุณต้องการวิธีที่ใช้ได้เสมอกับสมการกำลังสองในรูปมาตรฐาน
3. คุณต้องการรู้จำนวนคำตอบจริงจากดิสคริมิแนนต์
4. คุณกำลังเปรียบเทียบวิธีต่าง ๆ เช่น การแยกตัวประกอบ การทำกำลังสองสมบูรณ์ และการเขียนกราฟ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

แก้สมการ $x^2 - 6x + 5 = 0$ ด้วยขั้นตอนเดียวกัน: ระบุค่า $a$, $b$ และ $c$ คำนวณดิสคริมิแนนต์ และหาคำตอบทั้งสองกรณี ถ้าต้องการเปรียบเทียบที่มีประโยชน์ ให้ลองแยกตัวประกอบหลังจากนั้น แล้วตรวจว่าทั้งสองวิธีให้รากเหมือนกันหรือไม่