กราฟกำลังสอง — จุดยอด แกนสมมาตร และการสเก็ตช์กราฟ

กราฟกำลังสองคือพาราโบลาที่ได้จากฟังก์ชันในรูป

$$y = ax^2 + bx + c$$

โดยที่ $a \ne 0$ ถ้าต้องการสเก็ตช์กราฟอย่างรวดเร็ว ให้ดูทิศทางการเปิดจาก $a$ หาแกนสมมาตร หาจุดยอด และหาจุดง่าย ๆ เพิ่มเติม เช่น จุดตัดแกน

ถ้าจะจำข้อเท็จจริงเชิงโครงสร้างไว้เพียงข้อเดียว ให้จำข้อนี้: กราฟมีสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงแนวตั้งที่ผ่านจุดยอด

วิธีหาจุดยอดและแกนสมมาตร

จุดยอดคือจุดกลับตัวของพาราโบลา เป็นจุดต่ำสุดถ้ากราฟเปิดขึ้น และเป็นจุดสูงสุดถ้ากราฟเปิดลง

แกนสมมาตรคือเส้นตรงแนวตั้งที่ผ่านจุดยอดนั้น สำหรับ

$$y = ax^2 + bx + c$$

แกนสมมาตรคือ

$$x = -\frac{b}{2a}$$

สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันกำลังสองจริง ๆ ดังนั้นต้องมี $a \ne 0$

เมื่อรู้แกนสมมาตรแล้ว ให้นำค่า $x$ นั้นไปแทนในฟังก์ชันเพื่อหาค่า $y$ ของจุดยอด

สัมประสิทธิ์เปลี่ยนกราฟอย่างไร

เครื่องหมายของ $a$ เป็นตัวกำหนดทิศทางการเปิดของกราฟ

• ถ้า $a > 0$ พาราโบลาจะเปิดขึ้น ดังนั้นจุดยอดเป็นค่าต่ำสุด
• ถ้า $a < 0$ พาราโบลาจะเปิดลง ดังนั้นจุดยอดเป็นค่าสูงสุด

ขนาดของ $|a|$ มีผลต่อความกว้างของกราฟ เมื่อเทียบกับ $y = x^2$ ถ้า $|a|$ มากกว่า กราฟจะแคบลง แต่ถ้า $|a|$ เป็นบวกและมีค่าน้อยกว่า กราฟจะกว้างขึ้น

พจน์คงที่ $c$ ให้จุดตัดแกน $y$ เพราะเมื่อ $x=0$

$$y = c$$

จึงได้จุดหนึ่งทันทีคือ $(0,c)$

ตัวอย่างทำจริง: สเก็ตช์กราฟ $y = x^2 - 4x + 3$

เริ่มจาก

$$y = x^2 - 4x + 3$$

ในที่นี้ $a=1$, $b=-4$ และ $c=3$ ดังนั้นกราฟเปิดขึ้น

ขั้นแรก หาแกนสมมาตร:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

ต่อไป หาจุดยอดโดยแทน $x=2$ ลงในฟังก์ชัน:

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

ดังนั้นจุดยอดคือ $(2,-1)$ และเพราะพาราโบลาเปิดขึ้น จุดนี้จึงเป็นจุดต่ำสุด

ต่อไปหาจุดตัดแกน จุดตัดแกน $y$ หาได้ทันที:

$$y = 3 \quad \text{when } x=0$$

ดังนั้นจุดหนึ่งคือ $(0,3)$

สำหรับจุดตัดแกน $x$ ให้กำหนด $y=0$ แล้วแก้สมการ

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

แยกตัวประกอบได้เป็น

$$(x-1)(x-3)=0$$

ดังนั้นกราฟตัดแกน $x$ ที่

$$(1,0) \text{ and } (3,0)$$

เพียงเท่านี้ก็เพียงพอสำหรับการสเก็ตช์กราฟที่เชื่อถือได้แล้ว:

• จุดยอดอยู่ที่ $(2,-1)$
• แกนสมมาตรคือ $x=2$
• กราฟเปิดขึ้น
• กราฟตัดแกน $x$ ที่ $(1,0)$ และ $(3,0)$
• กราฟตัดแกน $y$ ที่ $(0,3)$

สังเกตความสมมาตร: จุด $(1,0)$ และ $(3,0)$ อยู่ห่างจากเส้น $x=2$ เท่ากัน

วิธีสเก็ตช์กราฟกำลังสองแบบรวดเร็ว

เมื่อคุณต้องการกราฟอย่างรวดเร็ว ให้ทำตามลำดับนี้:

1. ดูเครื่องหมายของ $a$ เพื่อดูว่าพาราโบลาเปิดขึ้นหรือเปิดลง
2. คำนวณแกนสมมาตรด้วย $x=-\frac{b}{2a}$
3. หาจุดยอดโดยแทนค่า $x$ นั้นลงในฟังก์ชัน
4. พล็อตจุดตัดแกน $y$ ที่ $(0,c)$
5. หาจุดตัดแกน $x$ ที่เป็นจำนวนจริงถ้ามี หรือพล็อตจุดเพิ่มอีกหนึ่งจุดแล้วสะท้อนข้ามแกนสมมาตร

โดยทั่วไป แค่นี้ก็เพียงพอสำหรับการสเก็ตช์กราฟด้วยมือ แม้ว่าคุณจะไม่ได้เขียนฟังก์ชันให้อยู่ในรูปจุดยอดก็ตาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อสเก็ตช์กราฟกำลังสอง

สับสนระหว่างจุดยอดกับจุดตัดแกน

โดยทั่วไปแล้ว จุดยอดไม่ใช่จุดที่กราฟตัดแกน จุดยอดคือจุดกลับตัว พาราโบลาสามารถมีจุดยอดอยู่เหนือ ใต้ หรืออยู่บนแกน $x$ ก็ได้

ลืมว่า $a \ne 0$

ถ้า $a=0$ ฟังก์ชันจะไม่ใช่ฟังก์ชันกำลังสอง ดังนั้นจะไม่มีพาราโบลา และสูตรหาแกนสมมาตรของฟังก์ชันกำลังสองก็ใช้ไม่ได้

ลืมเครื่องหมายลบใน $x = -\frac{b}{2a}$

ความผิดพลาดในการสเก็ตช์หลายครั้งเริ่มจากการหาแกนผิดเพราะลืมเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า $b=-4$ แล้ว $-b=4$ ไม่ใช่ $-4$

คิดว่าฟังก์ชันกำลังสองทุกตัวมีจุดตัดแกน $x$ ที่เป็นจำนวนจริงสองจุด

ฟังก์ชันกำลังสองบางตัวมีจุดตัดจริงสองจุด บางตัวมีหนึ่งจุด และบางตัวไม่มีเลย ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับว่ากราฟแตะหรือผ่านแกน $x$ หรือไม่

กราฟกำลังสองพบได้ที่ไหน

กราฟกำลังสองพบได้บ่อยในพีชคณิต เพราะเชื่อมโยงสมการ ราก และรูปร่างของกราฟไว้ในภาพเดียว นอกจากนี้ยังพบในโจทย์การหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ซึ่งจุดยอดจะบอกค่ามากที่สุดหรือค่าน้อยที่สุด

ในฟิสิกส์ แบบจำลองกำลังสองยังปรากฏในสถานการณ์อุดมคติที่พบได้บ่อย เช่น การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ โดยมีเงื่อนไขว่าสมมติฐานของแบบจำลองนั้นใช้ได้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

สเก็ตช์กราฟ $y = -x^2 + 6x - 5$ หาแกนสมมาตร จุดยอด และจุดตัดแกนก่อนวาดเส้นโค้ง ถ้าต้องการไปอีกขั้น ให้เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปจุดยอด แล้วตรวจสอบว่าทั้งสองวิธีให้จุดกลับตัวเดียวกัน