การแก้อสมการ

การแก้อสมการคือการหาค่าทั้งหมดที่ทำให้การเปรียบเทียบเป็นจริง ถ้าคุณแก้สมการพื้นฐานได้ คุณก็รู้ขั้นตอนส่วนใหญ่แล้ว กฎเพิ่มเติมที่สำคัญมีเพียงข้อเดียวคือ ถ้าคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ

ตัวอย่างเช่น $2x - 5 \le 9$ ต้องการหาค่าทุกค่าของ $x$ ที่ทำให้ด้านซ้ายมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $9$ คำตอบจึงมักเป็นช่วงของค่า ไม่ใช่จำนวนที่แน่นอนเพียงค่าเดียว

การแก้อสมการหมายถึงอะไร

สมการถามหาค่าที่แน่นอนซึ่งทำให้สองข้างเท่ากัน แต่อสมการถามหาค่าทั้งหมดที่ทำให้ด้านหนึ่งมากกว่า น้อยกว่า อย่างน้อยเท่ากับ หรืออย่างมากเท่ากับอีกด้านหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น $x < 4$ หมายความว่าจำนวนทุกจำนวนที่น้อยกว่า $4$ ใช้ได้ ซึ่งรวมถึง $3$, $0$ และ $-10$ แต่ไม่รวม $4$ เอง นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคำตอบของอสมการจึงอธิบายเป็นเซตของจำนวน

กฎสำหรับการแก้อสมการ

ขั้นตอนต่อไปนี้ทำให้อสมการยังคงสมมูลกัน:

• บวกจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง
• ลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง
• คูณทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวกจำนวนเดียวกัน
• หารทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวกจำนวนเดียวกัน

ถ้าคุณคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ให้กลับเครื่องหมาย:

$$3 < 5$$

คูณทั้งสองข้างด้วย $-1$:

$$-3 > -5$$

ข้อความนี้ยังคงเป็นจริง แต่เป็นจริงได้เพราะทิศทางเปลี่ยนจาก $<$ เป็น $>$

ตัวอย่างทำโจทย์: แก้ $-2x + 3 > 11$

เริ่มแบบเดียวกับการแก้สมการ คือแยก $x$ ให้อยู่ลำพัง

ลบ $3$ ออกจากทั้งสองข้าง:

$$-2x > 8$$

จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย $-2$ เนื่องจากคุณกำลังหารด้วยจำนวนลบ จึงต้องกลับเครื่องหมายอสมการ:

$$x < -4$$

นี่คือเซตคำตอบทั้งหมด หมายความว่าจำนวนทุกจำนวนที่น้อยกว่า $-4$ จะทำให้อสมการเดิมเป็นจริง

ทำไมเครื่องหมายอสมการจึงต้องกลับ

จำนวนลบทำให้ลำดับบนเส้นจำนวนกลับทิศ ถ้า $a < b$ แล้ว $-a > -b$

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมเมื่อหาร $-2x > 8$ ด้วย $-2$ คำตอบจึงกลายเป็น $x < -4$ ไม่ใช่ $x > -4$ คุณไม่ได้ทำผิดกฎ แต่กำลังรักษาให้การเปรียบเทียบยังคงเป็นจริงหลังจากเปลี่ยนทั้งสองข้างด้วยตัวคูณลบ

ตรวจคำตอบด้วยค่าหนึ่งค่า

ลองแทนค่าที่อยู่ในคำตอบ เช่น $x = -5$:

$$-2(-5) + 3 = 13$$

เนื่องจาก $13 > 11$ เป็นจริง อสมการเดิมจึงเป็นจริง

ตอนนี้ลองแทนค่าที่อยู่นอกคำตอบ เช่น $x = 0$:

$$-2(0) + 3 = 3$$

เนื่องจาก $3 > 11$ เป็นเท็จ จึงสอดคล้องกับคำตอบ $x < -4$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแก้อสมการ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการลืมกลับเครื่องหมายหลังจากคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือมองคำตอบเป็นค่าเดียวแทนที่จะเป็นช่วงของค่า ตัวอย่างเช่น $x \ge 2$ หมายความว่ามีค่าได้ไม่สิ้นสุด ไม่ใช่แค่ $x = 2$

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรโดยยังไม่รู้เครื่องหมายของมัน ถ้ายังไม่ทราบว่านิพจน์นั้นเป็นบวกหรือลบ ทิศทางของอสมการอาจขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเพิ่มเติม

การแก้อสมการถูกใช้ที่ไหน

อสมการปรากฏในปัญหาที่มีขอบเขตหรือข้อจำกัด แทนที่จะเป็นความเท่ากันแบบพอดี ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ เกณฑ์คะแนน ข้อจำกัดด้านงบประมาณ ช่วงความปลอดภัย ข้อจำกัดของโดเมน และปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด

อสมการยังพบได้ตลอดในพีชคณิต โดยเฉพาะในการเขียนกราฟช่วง การแก้อสมการประกอบ และการอธิบายคำตอบที่เป็นไปได้ในสถานการณ์จริง

ลองทำอสมการที่คล้ายกัน

ลองแก้ $5x - 7 \le 18$ จากนั้นแก้ $-3x + 4 \ge 1$ แล้วเปรียบเทียบขั้นตอนสุดท้าย ถ้าคุณอยากลองต่อ ให้สร้างโจทย์ของตัวเองที่มีสัมประสิทธิ์ติดลบ แล้วตรวจดูว่าคุณกลับเครื่องหมายในจังหวะที่ถูกต้องหรือไม่