Inéquation du second degré

Une inéquation du second degré consiste à chercher toutes les valeurs de $x$ qui rendent une expression quadratique supérieure, inférieure, au moins égale ou au plus égale à une autre valeur. Pour la résoudre, on la réécrit de façon à avoir $0$ d’un côté, on trouve les zéros, puis on utilise ces zéros pour déterminer quels intervalles vérifient l’inéquation.

Par exemple, résoudre $x^2 - 5x + 6 > 0$ revient à trouver tous les nombres réels qui rendent l’expression positive, et pas seulement les valeurs pour lesquelles elle est égale à $0$.

Ce que signifie une inéquation du second degré

Une inéquation du second degré fait intervenir une expression de degré $2$ et un signe d’inégalité tel que

$$ax^2 + bx + c > 0$$

ou

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

avec $a \ne 0$.

La différence essentielle avec une équation du second degré tient à l’objectif. Une équation du second degré demande de trouver les racines. Une inéquation du second degré demande de trouver le ou les intervalles où le trinôme reste au-dessus ou au-dessous de $0$.

Comment résoudre une inéquation du second degré

Les zéros sont importants, car ce sont les seuls points réels où le signe peut changer. Une fois trouvés, ils découpent la droite réelle en intervalles. Sur chaque intervalle, le trinôme reste soit positif, soit négatif.

Une méthode fiable consiste à :

1. Tout regrouper d’un côté pour que l’autre côté soit $0$.
2. Trouver les zéros par factorisation ou par une autre méthode de résolution.
3. Utiliser les zéros pour découper la droite réelle en intervalles.
4. Tester une valeur dans chaque intervalle, ou raisonner à partir du graphe si les racines sont claires.
5. Garder les intervalles qui rendent l’inéquation vraie.

Si l’inégalité est stricte, comme $>$ ou $<$, on n’inclut pas les zéros. Si elle est large, comme $\ge$ ou $\le$, on les inclut.

Exemple résolu : $x^2 - 5x + 6 > 0$

Le trinôme est déjà comparé à $0$, donc on commence par factoriser :

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Les zéros sont donc $x = 2$ et $x = 3$. Ils découpent la droite réelle en trois intervalles :

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Testons une valeur dans chaque intervalle.

Pour $x = 0$ :

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Donc $(-\infty, 2)$ convient.

Pour $x = 2.5$ :

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Donc $(2, 3)$ ne convient pas.

Pour $x = 4$ :

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Donc $(3, \infty)$ convient.

La solution est

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

En notation d’intervalles, cela donne

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Comme l’inégalité de départ est $>$, les bornes $2$ et $3$ ne sont pas incluses.

Comment le graphe permet une vérification rapide

Le graphe d’un trinôme du second degré est une parabole. Une solution de $ax^2 + bx + c > 0$ est toute valeur de $x$ pour laquelle la parabole est au-dessus de l’axe des $x$. Une solution de $ax^2 + bx + c < 0$ est toute valeur de $x$ pour laquelle elle est au-dessous de l’axe des $x$.

Cela permet une vérification rapide lorsque le trinôme a deux racines réelles :

• Si la parabole est ouverte vers le haut, elle est souvent positive à l’extérieur des racines et négative entre elles.
• Si la parabole est ouverte vers le bas, ce schéma s’inverse.

Ce raccourci dépend du fait que le trinôme ait des zéros réels. S’il n’y a pas de zéro réel, le signe ne change pas sur la droite réelle, donc il faut raisonner à partir du graphe ou du coefficient directeur du terme de plus haut degré.

Erreurs fréquentes à éviter

L’erreur la plus fréquente consiste à résoudre l’équation associée et à s’arrêter aux racines. Les racines sont généralement les frontières de la réponse, pas la réponse complète.

Une autre erreur consiste à inclure les bornes alors que l’inégalité est stricte. Dans $x^2 - 5x + 6 > 0$, les valeurs $x = 2$ et $x = 3$ rendent l’expression égale à $0$, donc elles n’appartiennent pas à l’ensemble solution.

Une troisième erreur consiste à supposer que la réponse est toujours comprise entre les racines. Cela dépend du signe recherché et du fait que la parabole soit ouverte vers le haut ou vers le bas.

Quand les inéquations du second degré sont utilisées

Les inéquations du second degré apparaissent en algèbre, en étude de graphes, en optimisation et dans des problèmes appliqués avec des contraintes. Elles sont utiles lorsqu’on cherche un intervalle de valeurs admissibles plutôt qu’une seule réponse exacte.

Par exemple, elles peuvent décrire quand une hauteur reste au-dessus d’un seuil, quand un modèle de profit est positif, ou quand une formule reste dans une zone autorisée.

Essayez un problème similaire

Essayez de résoudre $x^2 - 4x - 5 \le 0$. Commencez par factoriser, repérez les zéros, puis décidez si les bornes appartiennent à la solution avant de tester les intervalles. Pour une autre vérification, comparez votre réponse en intervalles avec le graphe et voyez si les deux méthodes donnent le même résultat.