二次不等式

二次不等式では、二次式がある値より大きいか、小さいか、以上か、以下かを満たす $x$ の値をすべて求めます。解くときは、まず片方を $0$ にそろえ、零点を求め、その零点を使ってどの区間で不等式が成り立つかを判断します。

たとえば $x^2 - 5x + 6 > 0$ を解くとは、式が $0$ になる値だけでなく、式を正にするすべての実数を求めることです。

二次不等式の意味

二次不等式は、2次の式と次のような不等号を含むものです。

$$ax^2 + bx + c > 0$$

または

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

ただし $a \ne 0$ です。

二次方程式との大きな違いは、求めるものにあります。二次方程式では解を求めますが、二次不等式では二次式が $0$ より上または下にある区間を求めます。

二次不等式の解き方

零点が重要なのは、符号が変わる可能性がある実数の点がそこだけだからです。零点がわかると、数直線はいくつかの区間に分かれます。各区間では、二次式の符号は正か負のどちらかで一定です。

確実な方法は次のとおりです。

1. すべてを片側に移項して、もう片方を $0$ にする。
2. 因数分解や別の方法で零点を求める。
3. 零点で数直線を区切って区間を作る。
4. 各区間から1つ値を選んで代入するか、根がはっきりしていればグラフから判断する。
5. 不等式を満たす区間を残す。

不等式が $>$ や $<$ のような厳密不等号なら、零点は含めません。$\ge$ や $\le$ のような不等号なら、零点を含めます。

例題: $x^2 - 5x + 6 > 0$

この二次式はすでに $0$ と比較されているので、まず因数分解します。

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

したがって零点は $x = 2$ と $x = 3$ です。これらによって数直線は次の3つの区間に分かれます。

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

各区間から1つずつ値を選んで調べます。

$x = 0$ のとき:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

したがって $(-\infty, 2)$ は成り立ちます。

$x = 2.5$ のとき:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

したがって $(2, 3)$ は成り立ちません。

$x = 4$ のとき:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

したがって $(3, \infty)$ は成り立ちます。

よって解は

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

区間表示では

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

となります。もとの不等式は $>$ なので、端点の $2$ と $3$ は含みません。

グラフで素早く確認する方法

二次関数のグラフは放物線です。$ax^2 + bx + c > 0$ の解は、放物線が $x$ 軸より上にある $x$ の値です。$ax^2 + bx + c < 0$ の解は、放物線が $x$ 軸より下にある $x$ の値です。

二次式が2つの実数解をもつとき、これは素早い確認方法になります。

• 放物線が上に開くとき、根の外側で正、根の間で負になることが多いです。
• 放物線が下に開くとき、その関係は逆になります。

この見方は、二次式が実数の零点をもつことを前提にしています。実数の零点がなければ、数直線上で符号は切り替わらないので、グラフや最高次の係数から判断する必要があります。

よくある間違い

最も多い間違いは、対応する二次方程式を解いて、根だけを書いて終わってしまうことです。根はたいてい答えそのものではなく、答えの境界です。

もう1つの間違いは、厳密不等号なのに端点を含めてしまうことです。$x^2 - 5x + 6 > 0$ では、$x = 2$ と $x = 3$ を代入すると式は $0$ になるので、解集合には入りません。

3つ目の間違いは、答えがいつも根の間にあると思い込むことです。これは、どちらの符号を求めるか、また放物線が上に開くか下に開くかによって変わります。

二次不等式が使われる場面

二次不等式は、代数、グラフ、最適化、そして制約のある応用問題に現れます。1つの正確な答えではなく、条件を満たす入力の範囲が必要なときに役立ちます。

たとえば、高さがある基準より上にある時間帯、利益のモデルが正になる範囲、ある式が許された領域内に収まる条件などを表せます。

類題に挑戦

$x^2 - 4x - 5 \le 0$ を解いてみましょう。まず因数分解し、零点を数直線にとり、区間を調べる前に端点を含めるかどうかを判断します。別の方法でも確かめたいなら、区間での答えをグラフと比べて、2つの方法が一致するか見てみましょう。