Τετραγωνική ανίσωση

Μια τετραγωνική ανίσωση ζητά όλες τις τιμές του $x$ που κάνουν μια τετραγωνική παράσταση μεγαλύτερη, μικρότερη, τουλάχιστον ίση ή το πολύ ίση με κάποια άλλη τιμή. Για να τη λύσεις, τη γράφεις έτσι ώστε το ένα μέλος να είναι $0$, βρίσκεις τις ρίζες και χρησιμοποιείς αυτές τις ρίζες για να αποφασίσεις ποια διαστήματα ικανοποιούν την ανίσωση.

Για παράδειγμα, η επίλυση της $x^2 - 5x + 6 > 0$ σημαίνει ότι βρίσκεις κάθε πραγματικό αριθμό που κάνει την παράσταση θετική, όχι μόνο τις τιμές για τις οποίες γίνεται ίση με $0$.

Τι σημαίνει μια τετραγωνική ανίσωση

Μια τετραγωνική ανίσωση περιλαμβάνει μια παράσταση 2ου βαθμού και ένα σύμβολο ανίσωσης όπως

$$ax^2 + bx + c > 0$$

ή

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

με $a \ne 0$.

Η βασική διαφορά από μια δευτεροβάθμια εξίσωση είναι ο στόχος. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση ζητά τις ρίζες. Μια τετραγωνική ανίσωση ζητά το διάστημα ή τα διαστήματα όπου το τριώνυμο παραμένει πάνω ή κάτω από το $0$.

Πώς λύνουμε μια τετραγωνική ανίσωση

Οι ρίζες έχουν σημασία επειδή είναι τα μόνα πραγματικά σημεία όπου μπορεί να αλλάξει το πρόσημο. Μόλις τις βρεις, χωρίζουν την αριθμητική ευθεία σε διαστήματα. Σε κάθε διάστημα, το τριώνυμο παραμένει είτε θετικό είτε αρνητικό.

Μια αξιόπιστη μέθοδος είναι:

1. Μετέφερε τα πάντα στο ένα μέλος ώστε το άλλο μέλος να είναι $0$.
2. Βρες τις ρίζες με παραγοντοποίηση ή με άλλη μέθοδο επίλυσης.
3. Χρησιμοποίησε τις ρίζες για να χωρίσεις την αριθμητική ευθεία σε διαστήματα.
4. Δοκίμασε μία τιμή από κάθε διάστημα ή σκέψου με βάση το γράφημα αν οι ρίζες είναι ξεκάθαρες.
5. Κράτησε τα διαστήματα που κάνουν την ανίσωση αληθή.

Αν η ανίσωση είναι αυστηρή, όπως $>$ ή $<$, μην περιλάβεις τις ρίζες. Αν είναι μη αυστηρή, όπως $\ge$ ή $\le$, τότε τις περιλαμβάνεις.

Λυμένο παράδειγμα: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Το τριώνυμο συγκρίνεται ήδη με το $0$, οπότε ξεκίνα με παραγοντοποίηση:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Τώρα οι ρίζες είναι $x = 2$ και $x = 3$. Αυτές χωρίζουν την αριθμητική ευθεία σε τρία διαστήματα:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Δοκίμασε μία τιμή από κάθε διάστημα.

Για $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Άρα το $(-\infty, 2)$ είναι αποδεκτό.

Για $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Άρα το $(2, 3)$ δεν είναι αποδεκτό.

Για $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Άρα το $(3, \infty)$ είναι αποδεκτό.

Η λύση είναι

$$x < 2 \text{ or } x > 3.$$

Σε μορφή διαστημάτων, αυτό είναι

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Επειδή η αρχική ανίσωση είναι $>$, τα άκρα $2$ και $3$ δεν περιλαμβάνονται.

Πώς το γράφημα δίνει έναν γρήγορο έλεγχο

Το γράφημα μιας τετραγωνικής παράστασης είναι μια παραβολή. Λύση της $ax^2 + bx + c > 0$ είναι κάθε τιμή του $x$ όπου η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$. Λύση της $ax^2 + bx + c < 0$ είναι κάθε τιμή του $x$ όπου βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$.

Αυτό δίνει έναν γρήγορο έλεγχο όταν η τετραγωνική παράσταση έχει δύο πραγματικές ρίζες:

• Αν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω, είναι συχνά θετική έξω από τις ρίζες και αρνητική ανάμεσά τους.
• Αν η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω, αυτό το μοτίβο αντιστρέφεται.

Αυτή η συντόμευση εξαρτάται από το αν η τετραγωνική παράσταση έχει πραγματικές ρίζες. Αν δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, το πρόσημο δεν αλλάζει πάνω στην αριθμητική ευθεία, οπότε πρέπει να σκεφτείς με βάση το γράφημα ή τον συντελεστή του $x^2$.

Συνηθισμένα λάθη που πρέπει να αποφύγεις

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να λύνεις τη σχετική εξίσωση και να σταματάς στις ρίζες. Οι ρίζες είναι συνήθως τα όρια της απάντησης, όχι ολόκληρη η απάντηση.

Ένα άλλο λάθος είναι να περιλαμβάνεις τα άκρα όταν η ανίσωση είναι αυστηρή. Στην $x^2 - 5x + 6 > 0$, οι τιμές $x = 2$ και $x = 3$ κάνουν την παράσταση ίση με $0$, άρα δεν ανήκουν στο σύνολο λύσεων.

Ένα τρίτο λάθος είναι να υποθέτεις ότι η απάντηση είναι πάντα ανάμεσα στις ρίζες. Αυτό εξαρτάται από το πρόσημο που ζητάς και από το αν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα κάτω.

Πού χρησιμοποιούνται οι τετραγωνικές ανισώσεις

Οι τετραγωνικές ανισώσεις εμφανίζονται στην άλγεβρα, στις γραφικές παραστάσεις, στη βελτιστοποίηση και σε εφαρμοσμένα προβλήματα με περιορισμούς. Είναι χρήσιμες όταν χρειάζεσαι ένα εύρος αποδεκτών τιμών και όχι μία μόνο ακριβή απάντηση.

Για παράδειγμα, μπορούν να περιγράψουν πότε ένα ύψος παραμένει πάνω από ένα όριο, πότε ένα μοντέλο κέρδους είναι θετικό ή πότε ένας τύπος παραμένει μέσα σε μια επιτρεπτή περιοχή.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να λύσεις την $x^2 - 4x - 5 \le 0$. Κάνε πρώτα παραγοντοποίηση, σημείωσε τις ρίζες και αποφάσισε αν τα άκρα ανήκουν στη λύση πριν ελέγξεις τα διαστήματα. Αν θέλεις έναν ακόμη έλεγχο, σύγκρινε την απάντησή σου σε μορφή διαστημάτων με το γράφημα και δες αν συμφωνούν και οι δύο μέθοδοι.