Inequação do 2º grau

Uma inequação do 2º grau pede todos os valores de $x$ que tornam uma expressão quadrática maior, menor, pelo menos igual ou no máximo igual a outro valor. Para resolvê-la, reescreva a expressão de modo que um dos lados seja $0$, encontre os zeros e use esses zeros para decidir quais intervalos satisfazem a inequação.

Por exemplo, resolver $x^2 - 5x + 6 > 0$ significa encontrar todo número real que torna a expressão positiva, e não apenas os valores em que ela é igual a $0$.

O Que Significa Uma Inequação do 2º grau

Uma inequação do 2º grau envolve uma expressão de grau $2$ e um sinal de desigualdade, como

$$ax^2 + bx + c > 0$$

ou

$$ax^2 + bx + c \le 0,$$

com $a \ne 0$.

A principal diferença em relação a uma equação do 2º grau está no objetivo. Uma equação do 2º grau pede as raízes. Uma inequação do 2º grau pede o intervalo ou os intervalos em que a função quadrática fica acima ou abaixo de $0$.

Como Resolver Uma Inequação do 2º grau

Os zeros são importantes porque são os únicos pontos reais em que o sinal pode mudar. Depois de encontrá-los, eles dividem a reta numérica em intervalos. Em cada intervalo, a expressão quadrática permanece positiva ou negativa.

Um método confiável é:

1. Passe tudo para um lado, de modo que o outro lado seja $0$.
2. Encontre os zeros por fatoração ou por outro método de resolução.
3. Use os zeros para dividir a reta numérica em intervalos.
4. Teste um valor de cada intervalo, ou raciocine pelo gráfico se as raízes estiverem claras.
5. Fique com os intervalos que tornam a inequação verdadeira.

Se a desigualdade for estrita, como $>$ ou $<$, não inclua os zeros. Se for inclusiva, como $\ge$ ou $\le$, inclua-os.

Exemplo Resolvido: $x^2 - 5x + 6 > 0$

A expressão quadrática já está sendo comparada com $0$, então comece fatorando:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Agora os zeros são $x = 2$ e $x = 3$. Eles dividem a reta numérica em três intervalos:

• $(-\infty, 2)$
• $(2, 3)$
• $(3, \infty)$

Teste um valor de cada intervalo.

Para $x = 0$:

$$(0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0$$

Então $(-\infty, 2)$ funciona.

Para $x = 2.5$:

$$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) < 0$$

Então $(2, 3)$ não funciona.

Para $x = 4$:

$$(4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0$$

Então $(3, \infty)$ funciona.

A solução é

$$x < 2 \text{ ou } x > 3.$$

Em notação de intervalos, isso é

$$(-\infty, 2) \cup (3, \infty).$$

Como a desigualdade original é $>$, os extremos $2$ e $3$ não são incluídos.

Como O Gráfico Permite Uma Verificação Rápida

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Uma solução de $ax^2 + bx + c > 0$ é qualquer valor de $x$ em que a parábola está acima do eixo $x$. Uma solução de $ax^2 + bx + c < 0$ é qualquer valor de $x$ em que ela está abaixo do eixo $x$.

Isso permite uma verificação rápida quando a quadrática tem duas raízes reais:

• Se a parábola tem concavidade para cima, ela costuma ser positiva fora das raízes e negativa entre elas.
• Se a parábola tem concavidade para baixo, esse padrão se inverte.

Esse atalho depende de a quadrática ter zeros reais. Se não houver zeros reais, o sinal não muda ao longo da reta numérica, então você deve raciocinar pelo gráfico ou pelo coeficiente líder.

Erros Comuns Para Evitar

O erro mais comum é resolver a equação associada e parar nas raízes. As raízes geralmente são os limites da resposta, não a resposta completa.

Outro erro é incluir os extremos quando a desigualdade é estrita. Em $x^2 - 5x + 6 > 0$, os valores $x = 2$ e $x = 3$ tornam a expressão igual a $0$, então eles não pertencem ao conjunto solução.

Um terceiro erro é supor que a resposta sempre fica entre as raízes. Isso depende do sinal desejado e de a parábola ter concavidade para cima ou para baixo.

Quando As Inequações do 2º grau São Usadas

As inequações do 2º grau aparecem em álgebra, construção de gráficos, otimização e problemas aplicados com limites. Elas são úteis quando você precisa de um intervalo de entradas válidas, e não de uma única resposta exata.

Por exemplo, elas podem descrever quando uma altura permanece acima de um limite, quando um modelo de lucro é positivo ou quando uma fórmula permanece dentro de uma região permitida.

Tente Um Problema Parecido

Tente resolver $x^2 - 4x - 5 \le 0$. Fatore primeiro, marque os zeros e decida se os extremos pertencem à solução antes de testar os intervalos. Se quiser outra verificação, compare sua resposta em intervalos com o gráfico e veja se os dois métodos concordam.