ตัวแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

ในการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง ให้หารด้วย $2$ บันทึกเศษในแต่ละครั้ง แล้วอ่านเศษจากล่างขึ้นบน สำหรับจำนวนเต็มไม่ลบ นี่คือวิธีทำด้วยมือแบบมาตรฐาน และใช้ได้เพราะเลขฐานสองอาศัยกำลังของ $2$ แทนกำลังของ $10$

ถ้าคุณค้นหาคำว่าเครื่องมือแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง แนวคิดหลักที่ต้องรู้ก็คือสิ่งนี้ เลขฐานสองแต่ละหลักบอกว่ามีกำลังของ $2$ ค่านั้นอยู่หรือไม่ โดย $1$ หมายถึงมี และ $0$ หมายถึงไม่มี

ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง $101101_2$ หมายถึง

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

ซึ่งเท่ากับ

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

ดังนั้น การแปลงจากฐานสิบเป็นฐานสองก็คือการเขียนจำนวนใหม่ให้อยู่ในรูปผลบวกของกำลังของ $2$

ทำไมการแปลงจากฐานสิบเป็นฐานสองจึงใช้ได้

ในเลขฐานสิบ ค่าประจำหลักคือ $1$, $10$, $100$, $1000$ และต่อไปเรื่อย ๆ ส่วนในเลขฐานสอง ค่าประจำหลักคือ

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

เพราะเลขฐานสองมีเพียงสองหลัก แต่ละตำแหน่งจึงใส่ได้แค่ $0$ หรือ $1$ เท่านั้น ถ้าเป็น $1$ แปลว่ามีกำลังของ $2$ ค่านั้นอยู่ ถ้าเป็น $0$ แปลว่าไม่มี

นี่จึงเป็นเหตุผลด้วยว่าเลขฐานสองเหมาะกับระบบดิจิทัลตามธรรมชาติ เพราะแต่ละตำแหน่งมีได้เพียงสองสถานะ

วิธีแปลง $45$ จากฐานสิบเป็นฐานสอง

สำหรับจำนวนเต็มไม่ลบ วิธีมาตรฐานคือการหารด้วย $2$ ซ้ำ ๆ

เริ่มจาก $45$:

$$45 \div 2 = 22 \text{ remainder } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ remainder } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ remainder } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ remainder } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ remainder } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ remainder } 1$$

ตอนนี้ให้อ่านเศษจากล่างขึ้นบน:

$$101101$$

ดังนั้น

$$45_{10} = 101101_2$$

คุณสามารถตรวจคำตอบได้ด้วยค่าประจำหลัก:

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

วิธีตรวจแบบเร็วคือดูว่าหลักที่เป็น $1$ ตรงกับกำลังของ $2$ ค่าใดบ้าง ได้แก่ $32$, $8$, $4$ และ $1$ เมื่อนำมาบวกกันจะได้ $45$ จึงแปลว่าการแปลงนี้ถูกต้องสอดคล้องกัน

ทำไมต้องอ่านเศษย้อนกลับ

ในแต่ละขั้นของการหาร เราจะได้บิตที่มีค่าน้อยที่สุดถัดไปก่อน ซึ่งก็คือหลักขวาสุดของเลขฐานสอง นั่นจึงเป็นเหตุผลที่เศษตัวแรกต้องอยู่ท้ายสุด ไม่ใช่อยู่ต้นสุด

คุณยังมองคำตอบเดียวกันได้ด้วยการสร้าง $45$ จากกำลังของ $2$ โดยกำลังของ $2$ ที่มากที่สุดและยังไม่เกินคือ $32$ เหลือ $13$ จากนั้น $8$ ใช้ได้ เหลือ $5$ แล้ว $4$ ใช้ได้ เหลือ $1$ สุดท้าย $1$ ก็ใช้ได้

จึงได้ว่า

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

ดังนั้น หลักของ $2^5$, $2^3$, $2^2$ และ $2^0$ จะเป็น $1$ ส่วนหลักอื่นเป็น $0$ จึงได้ $101101$ อีกครั้ง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อ่านเศษจากบนลงล่าง

เมื่อใช้วิธีหารซ้ำ ต้องอ่านเศษจากล่างขึ้นบน ถ้าอ่านจากบนลงล่างจะได้เลขฐานสองผิด

ใช้วิธีของจำนวนเต็มกับจำนวนที่มีเศษส่วน

วิธีหารด้วย $2$ ข้างต้นใช้สำหรับจำนวนเต็มไม่ลบ ถ้าจำนวนฐานสิบเดิมมีส่วนเศษ คุณต้องใช้กระบวนการแปลงอีกแบบสำหรับส่วนเศษนั้น

คิดว่าเศษส่วนทศนิยมจะเขียนจบในฐานสองเสมอ

ไม่จริง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมบางจำนวนที่สิ้นสุดในฐานสิบ อาจกลายเป็นเลขฐานสองแบบซ้ำไม่รู้จบ ดังนั้นเครื่องมือแปลงฐานสิบเป็นฐานสองอาจแสดงผลแบบปัดเศษเมื่อค่าที่ป้อนไม่ใช่จำนวนเต็ม

การแปลงฐานสิบเป็นฐานสองใช้เมื่อใด

การแปลงแบบนี้พบได้ในงานคอมพิวเตอร์ อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล ขนาดหน่วยเก็บข้อมูล และตรรกะที่อิงกับบิต แม้ว่าคุณอาจไม่ต้องแปลงตัวเลขด้วยมือในการทำงานจริง การเข้าใจว่าตัวเลขแต่ละหลักหมายถึงอะไรจะช่วยให้เลขฐานสองดูเข้าใจง่ายขึ้น

นอกจากนี้ยังมีประโยชน์เมื่ออ่าน mask, flag หรือ ตัวอย่างระดับล่างที่แต่ละบิตแทนตัวเลือกเปิดหรือปิด

แบบฝึกหัดสั้น ๆ

ลองแปลง $26$ เป็นเลขฐานสองด้วยกระบวนการหารด้วย $2$ แบบเดียวกัน จากนั้นตรวจคำตอบโดยกระจายเป็นผลบวกของกำลังของ $2$ ถ้าอยากลองเพิ่มอีกขั้น ให้เปรียบเทียบกรณีจำนวนเต็มนี้กับจำนวนทศนิยมที่มีเศษ แล้วสังเกตว่าทำไมส่วนเศษจึงต้องระวังเป็นพิเศษ