Konwerter z dziesiętnego na binarny

Aby zamienić liczbę dziesiętną na binarną, dziel ją przez $2$, zapisuj każdą resztę i odczytaj reszty od dołu do góry. Dla nieujemnych liczb całkowitych jest to standardowa metoda ręczna i działa dlatego, że system binarny używa potęg $2$ zamiast potęg $10$.

Jeśli szukasz konwertera z dziesiętnego na binarny, to właśnie jest podstawowa idea, którą trzeba zrozumieć. Każda cyfra binarna mówi, czy dana potęga $2$ występuje w zapisie liczby: $1$ oznacza tak, a $0$ oznacza nie.

Na przykład liczba binarna $101101_2$ oznacza

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

co daje

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

Zatem zamiana z dziesiętnego na binarny polega tak naprawdę na zapisaniu liczby jako sumy potęg $2$.

Dlaczego zamiana z dziesiętnego na binarny działa

W systemie dziesiętnym pozycje mają wartości $1$, $10$, $100$, $1000$ i tak dalej. W systemie binarnym pozycje to

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

Ponieważ system binarny ma tylko dwie cyfry, każda pozycja może zawierać tylko $0$ albo $1$. $1$ oznacza, że dana potęga $2$ jest uwzględniona. $0$ oznacza, że nie jest.

To także wyjaśnia, dlaczego system binarny naturalnie pasuje do układów cyfrowych: każda pozycja ma tylko dwa stany.

Jak zamienić $45$ z dziesiętnego na binarny

Dla nieujemnej liczby całkowitej standardową metodą jest wielokrotne dzielenie przez $2$.

Zacznij od $45$:

$$45 \div 2 = 22 \text{ reszta } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ reszta } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ reszta } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ reszta } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ reszta } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ reszta } 1$$

Teraz odczytaj reszty od dołu do góry:

$$101101$$

Zatem

$$45_{10} = 101101_2$$

Możesz to sprawdzić za pomocą wartości pozycyjnych:

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

Szybki sposób sprawdzenia to wypisanie potęg $2$ oznaczonych przez $1$: $32$, $8$, $4$ i $1$. Ich suma to $45$, więc zamiana jest poprawna.

Dlaczego reszty odczytuje się od końca

Każdy krok dzielenia daje kolejny najmniej znaczący bit, czyli skrajną prawą cyfrę binarną. Dlatego pierwsza reszta należy na końcu, a nie na początku.

Ten sam wynik można zobaczyć, budując $45$ z potęg $2$. Największa potęga $2$, która się mieści, to $32$, więc zostaje $13$. Potem mieści się $8$, więc zostaje $5$. Następnie mieści się $4$, więc zostaje $1$. Na końcu mieści się $1$.

To daje

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Zatem cyfry przy $2^5$, $2^3$, $2^2$ i $2^0$ to $1$, a pozostałe to $0$. To znowu daje $101101$.

Typowe błędy

Odczytywanie reszt od góry do dołu

Przy wielokrotnym dzieleniu reszty odczytuje się od dołu do góry. Odczytanie ich od góry do dołu daje błędną liczbę binarną.

Stosowanie metody dla liczb całkowitych do ułamka

Opisana wyżej metoda dzielenia przez $2$ dotyczy nieujemnych liczb całkowitych. Jeśli wyjściowa liczba dziesiętna ma część ułamkową, potrzebny jest osobny sposób zamiany tej części.

Zakładanie, że ułamki dziesiętne zawsze mają skończony zapis binarny

Tak nie jest. Na przykład niektóre skończone ułamki dziesiętne mają rozwinięcie okresowe w systemie binarnym. Dlatego konwerter z dziesiętnego na binarny może pokazać wynik zaokrąglony, jeśli wejściem nie jest liczba całkowita.

Gdzie używa się zamiany z dziesiętnego na binarny

Ta zamiana pojawia się w informatyce, elektronice cyfrowej, rozmiarach pamięci i logice bitowej. Nawet jeśli nigdy nie będziesz ręcznie zamieniać liczb w pracy, zrozumienie znaczenia cyfr sprawia, że wartości binarne są mniej nieczytelne.

Jest to też przydatne przy odczytywaniu masek, flag lub przykładów niskopoziomowych, gdzie każdy bit oznacza wybór typu włączone/wyłączone.

Szybkie ćwiczenie

Spróbuj zamienić $26$ na zapis binarny, używając tego samego procesu dzielenia przez $2$. Następnie sprawdź wynik, rozpisując go na potęgi $2$. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, porównaj ten przypadek liczby całkowitej z ułamkiem dziesiętnym i zauważ, dlaczego część ułamkowa wymaga dodatkowej uwagi.