Convertitore da decimale a binario

Per convertire un numero decimale in binario, dividi per $2$, annota ogni resto e leggi i resti dal basso verso l’alto. Per i numeri interi non negativi, questo è il metodo manuale standard, e funziona perché il sistema binario usa le potenze di $2$ invece delle potenze di $10$.

Se hai cercato un convertitore da decimale a binario, questa è l’idea fondamentale che ti serve. Ogni cifra binaria indica se una specifica potenza di $2$ è presente: $1$ significa sì, $0$ significa no.

Per esempio, il numero binario $101101_2$ significa

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

che è uguale a

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

Quindi la conversione da decimale a binario consiste in realtà nel riscrivere un numero come somma di potenze di $2$.

Perché la conversione da decimale a binario funziona

Nel sistema decimale, le posizioni sono $1$, $10$, $100$, $1000$ e così via. Nel sistema binario, le posizioni sono

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

Poiché il sistema binario ha solo due cifre, ogni posizione può contenere solo $0$ oppure $1$. Un $1$ significa che quella potenza di $2$ è inclusa. Uno $0$ significa che non lo è.

Questo è anche il motivo per cui il sistema binario si adatta in modo naturale ai sistemi digitali: ogni posizione ha solo due stati.

Come convertire $45$ da decimale a binario

Per un intero non negativo, un metodo standard è la divisione ripetuta per $2$.

Inizia con $45$:

$$45 \div 2 = 22 \text{ resto } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ resto } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ resto } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ resto } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ resto } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ resto } 1$$

Ora leggi i resti dal basso verso l’alto:

$$101101$$

Quindi

$$45_{10} = 101101_2$$

Puoi verificarlo con i valori di posizione:

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

Un controllo rapido consiste nell’elencare le potenze di $2$ contrassegnate da $1$: $32$, $8$, $4$ e $1$. La loro somma è $45$, quindi la conversione è corretta.

Perché i resti si leggono al contrario

Ogni passaggio di divisione fornisce il bit meno significativo successivo, cioè la cifra binaria più a destra. Per questo il primo resto va alla fine, non all’inizio.

Puoi vedere lo stesso risultato anche costruendo $45$ a partire dalle potenze di $2$. La potenza di $2$ più grande che entra è $32$, lasciando $13$. Poi entra $8$, lasciando $5$. Poi entra $4$, lasciando $1$. Infine entra $1$.

Questo dà

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Quindi le cifre corrispondenti a $2^5$, $2^3$, $2^2$ e $2^0$ sono $1$, mentre le altre sono $0$. Si ottiene di nuovo $101101$.

Errori comuni

Leggere i resti dall’alto verso il basso

Con la divisione ripetuta, i resti si leggono dal basso verso l’alto. Leggerli dall’alto verso il basso dà il numero binario sbagliato.

Usare il metodo per gli interi su una frazione

Il metodo della divisione per $2$ visto sopra è per i numeri interi non negativi. Se il numero decimale originale ha una parte frazionaria, serve un processo di conversione separato per quella parte.

Supporre che le frazioni decimali terminino sempre in binario

Non è così. Per esempio, alcune frazioni decimali finite hanno espansioni binarie periodiche. Quindi un convertitore da decimale a binario può mostrare un risultato arrotondato se l’input non è un numero intero.

Quando si usa la conversione da decimale a binario

Questa conversione compare nell’informatica, nell’elettronica digitale, nelle dimensioni di archiviazione e nella logica basata sui bit. Anche se non convertirai mai numeri a mano nel lavoro, sapere che cosa significano le cifre rende i valori binari meno oscuri.

È utile anche quando leggi maschere, flag o esempi di basso livello in cui ogni bit rappresenta una scelta acceso/spento.

Esercizio rapido

Prova a convertire $26$ in binario con lo stesso processo di divisione per $2$. Poi controlla la tua risposta sviluppandola nelle potenze di $2$. Se vuoi fare un passo in più, confronta quel caso con un intero con una frazione decimale e osserva perché la frazione richiede più attenzione.