ระบบจำนวน - ไบนารี ออกทัล เฮกซะ

ไบนารี ออกทัล และเฮกซะเดซิมัล ล้วนเป็นระบบเลขที่ใช้ค่าประจำหลัก ความแตกต่างอยู่ที่ฐาน ไบนารีคือฐาน $2$ ออกทัลคือฐาน $8$ และเฮกซะเดซิมัลคือฐาน $16$ เมื่อเข้าใจแนวคิดนี้แล้ว สัญลักษณ์ต่าง ๆ จะไม่ดูน่าพิศวงอีกต่อไป

ในระบบจำนวนแบบมีตำแหน่งใด ๆ แต่ละหลักคือกำลังของฐาน ในฐาน $10$ ค่าประจำหลักคือ $1$, $10$, $100$ และต่อไปเรื่อย ๆ ในฐาน $2$ ค่าประจำหลักคือ $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ และต่อไปเรื่อย ๆ กฎเดียวกันนี้ใช้ได้กับทุกฐาน

แต่ละระบบจำนวนใช้สัญลักษณ์อะไรบ้าง

ไบนารีใช้เพียงเลข $0$ และ $1$

ออกทัลใช้เลข $0$ ถึง $7$

เฮกซะเดซิมัลใช้สัญลักษณ์ $16$ ตัว คือ $0$ ถึง $9$ แล้วตามด้วย $A$ ถึง $F$ เพื่อแทนค่า $10$ ถึง $15$

นั่นหมายความว่าเลขเฮกซะเดซิมัลหนึ่งหลักเก็บข้อมูลได้มากกว่าเลขไบนารีหนึ่งหลัก เพราะหนึ่งหลักของเฮกซะนับตามกำลังของ $16$ ไม่ใช่กำลังของ $2$

แนวคิดหลักที่สำคัญ

จำนวนหนึ่งไม่ได้เปลี่ยนค่าเพียงเพราะเราเขียนมันด้วยฐานที่ต่างออกไป สิ่งที่เปลี่ยนมีแค่รูปแบบการเขียน

ตัวอย่างเช่น จำนวน $45$ ในฐาน $10$ ก็ยังเป็นปริมาณเดิม ไม่ว่าจะเขียนเป็นไบนารี ออกทัล หรือเฮกซะเดซิมัล ฐานที่ต่างกันก็เหมือนภาษาคนละภาษาในการบอกปริมาณเดียวกัน

ตัวอย่างสำคัญ: เขียน $45$ เป็นไบนารี ออกทัล และเฮกซะ

เริ่มจากฐาน $10$

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

ซึ่งทั้งหมดเป็นกำลังของ $2$

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

ดังนั้นรูปแบบไบนารีจะมี $1$ อยู่ในหลัก $2^5$, $2^3$, $2^2$ และ $2^0$

$$45_{10} = 101101_2$$

ต่อไปใช้รูปไบนารีเพื่อหาออกทัล เนื่องจาก $8 = 2^3$ ให้จัดกลุ่มเลขไบนารีจากขวาเป็นชุดละ $3$

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

แต่ละกลุ่มจะกลายเป็นเลขออกทัลหนึ่งหลัก

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

ดังนั้น

$$45_{10} = 55_8$$

ต่อไปหาเฮกซะเดซิมัล เนื่องจาก $16 = 2^4$ ให้จัดกลุ่มเลขไบนารีจากขวาเป็นชุดละ $4$ ถ้าจำเป็นให้เติมศูนย์ด้านหน้า

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

จากนั้นแปลงแต่ละกลุ่ม

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

ดังนั้น

$$45_{10} = 2D_{16}$$

ทั้งสามรูปแบบแทนปริมาณเดียวกัน

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการลืมว่าฐานทำให้ค่าประจำหลักเปลี่ยนไป สตริง $101$ ไม่ได้มีความหมายเหมือนกันในฐาน $2$ ฐาน $8$ และฐาน $10$

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือใช้ตัวเลขที่ฐานนั้นไม่อนุญาต ตัวอย่างเช่น $2$ จะปรากฏในเลขไบนารีไม่ได้ และ $8$ จะปรากฏในเลขออกทัลไม่ได้

นักเรียนยังมักจัดกลุ่มเลขไบนารีผิดเวลาแปลงเป็นออกทัลหรือเฮกซะเดซิมัล ให้จัดกลุ่มจากด้านขวา และเติมศูนย์ด้านหน้าถ้าต้องการให้ครบกลุ่ม

ระบบจำนวนเหล่านี้ถูกใช้เมื่อไร

ไบนารีเป็นภาษาพื้นฐานของระบบดิจิทัล เพราะสวิตช์โดยธรรมชาติมีได้สองสถานะ ส่วนออกทัลและเฮกซะเดซิมัลเป็นวิธีที่กระชับในการเขียนสตริงไบนารีที่ยาว

คุณไม่จำเป็นต้องเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็เข้าใจแนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้ได้ ระบบเหล่านี้ยังมีคุณค่าเพราะช่วยฝึกกฎพื้นฐานของสัญกรณ์แบบมีตำแหน่ง นั่นคือค่าของจำนวนขึ้นอยู่กับทั้งฐานและตำแหน่งของหลัก

ลองแปลงค่าแบบเดียวกันดู

ลองแปลง $58_{10}$ เป็นไบนารี ออกทัล และเฮกซะเดซิมัล เริ่มจากเขียนมันเป็นผลบวกของกำลังของ $2$ แล้วจึงจัดกลุ่มเลขไบนารีเพื่อหารูปแบบอีกสองแบบ