Dezimal-zu-Binär-Umrechner

Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, teilst du durch $2$, notierst jeden Rest und liest die Reste von unten nach oben. Für nichtnegative ganze Zahlen ist das die übliche Methode von Hand, und sie funktioniert, weil das Binärsystem Potenzen von $2$ statt Potenzen von $10$ verwendet.

Wenn du nach einem Dezimal-zu-Binär-Umrechner gesucht hast, ist das die Grundidee, die du brauchst. Jede Binärziffer zeigt an, ob eine bestimmte Potenz von $2$ enthalten ist: $1$ bedeutet ja, $0$ bedeutet nein.

Zum Beispiel bedeutet die Binärzahl $101101_2$

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

das ergibt

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

Die Umwandlung von Dezimal in Binär bedeutet also im Grunde, eine Zahl als Summe von Potenzen von $2$ umzuschreiben.

Warum die Umwandlung von Dezimal in Binär funktioniert

Im Dezimalsystem sind die Stellenwerte $1$, $10$, $100$, $1000$ und so weiter. Im Binärsystem sind die Stellenwerte

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

Weil das Binärsystem nur zwei Ziffern hat, kann jede Stelle nur $0$ oder $1$ enthalten. Eine $1$ bedeutet, dass diese Potenz von $2$ enthalten ist. Eine $0$ bedeutet, dass sie nicht enthalten ist.

Deshalb passt das Binärsystem auch so gut zu digitalen Systemen: Jede Position hat nur zwei Zustände.

So wandelst du $45$ von Dezimal in Binär um

Für eine nichtnegative ganze Zahl ist eine Standardmethode die wiederholte Division durch $2$.

Beginne mit $45$:

$$45 \div 2 = 22 \text{ Rest } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ Rest } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ Rest } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ Rest } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ Rest } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ Rest } 1$$

Lies nun die Reste von unten nach oben:

$$101101$$

Also gilt

$$45_{10} = 101101_2$$

Du kannst das mit den Stellenwerten überprüfen:

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

Zur schnellen Kontrolle listest du die Potenzen von $2$ auf, die mit $1$ markiert sind: $32$, $8$, $4$ und $1$. Ihre Summe ist $45$, also ist die Umwandlung korrekt.

Warum die Reste rückwärts gelesen werden

Jeder Divisionsschritt liefert das nächste niederwertigste Bit, also die ganz rechte Binärziffer. Deshalb gehört der erste Rest ans Ende und nicht an den Anfang.

Du kannst dieselbe Antwort auch sehen, indem du $45$ aus Potenzen von $2$ zusammensetzt. Die größte passende Potenz von $2$ ist $32$, es bleiben also $13$. Dann passt $8$, es bleiben $5$. Dann passt $4$, es bleibt $1$. Schließlich passt $1$.

Das ergibt

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Also sind die Ziffern für $2^5$, $2^3$, $2^2$ und $2^0$ gleich $1$, während die anderen $0$ sind. So erhältst du wieder $101101$.

Häufige Fehler

Die Reste von oben nach unten lesen

Bei der wiederholten Division liest du die Reste von unten nach oben. Wenn du sie von oben nach unten liest, erhältst du die falsche Binärzahl.

Die Ganzzahlmethode auf einen Bruch anwenden

Die Methode der Division durch $2$ oben ist für nichtnegative ganze Zahlen gedacht. Wenn die ursprüngliche Dezimalzahl einen Nachkommateil hat, brauchst du für diesen Nachkommateil ein separates Umwandlungsverfahren.

Annehmen, dass Dezimalbrüche im Binärsystem immer enden

Das tun sie nicht. Zum Beispiel haben manche endlichen Dezimalbrüche periodische Binärdarstellungen. Deshalb kann ein Dezimal-zu-Binär-Umrechner ein gerundetes Ergebnis anzeigen, wenn die Eingabe keine ganze Zahl ist.

Wann du die Umwandlung von Dezimal in Binär verwendest

Diese Umwandlung begegnet dir in der Informatik, der Digitaltechnik, bei Speichergrößen und in bitbasierter Logik. Selbst wenn du Zahlen im Beruf nie von Hand umrechnest, hilft dir das Verständnis der Ziffern dabei, Binärwerte weniger undurchsichtig zu machen.

Sie ist auch nützlich, wenn du Masken, Flags oder systemnahe Beispiele liest, bei denen jedes Bit für eine Ein/Aus-Entscheidung steht.

Kurze Übung

Versuche, $26$ mit demselben Verfahren der Division durch $2$ in eine Binärzahl umzuwandeln. Prüfe dein Ergebnis dann, indem du es in Potenzen von $2$ zerlegst. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, vergleiche diesen Ganzzahlfall mit einem Dezimalbruch und achte darauf, warum der Bruch besondere Sorgfalt braucht.