Convertisseur décimal vers binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, divisez par $2$, notez chaque reste, puis lisez les restes de bas en haut. Pour les entiers positifs ou nuls, c'est la méthode manuelle standard, et elle fonctionne parce que le binaire utilise les puissances de $2$ au lieu des puissances de $10$.

Si vous avez cherché un convertisseur décimal vers binaire, c'est l'idée essentielle à comprendre. Chaque chiffre binaire indique si une puissance précise de $2$ est incluse : $1$ signifie oui, et $0$ signifie non.

Par exemple, le nombre binaire $101101_2$ signifie

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

ce qui vaut

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

Ainsi, la conversion du décimal vers le binaire consiste en réalité à réécrire un nombre comme une somme de puissances de $2$.

Pourquoi la conversion décimal vers binaire fonctionne

En décimal, les positions valent $1$, $10$, $100$, $1000$, et ainsi de suite. En binaire, les positions sont

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

Comme le binaire n'a que deux chiffres, chaque position ne peut contenir que $0$ ou $1$. Un $1$ signifie que cette puissance de $2$ est incluse. Un $0$ signifie qu'elle ne l'est pas.

C'est aussi pour cela que le binaire est naturellement adapté aux systèmes numériques : chaque position n'a que deux états.

Comment convertir $45$ du décimal vers le binaire

Pour un entier positif ou nul, une méthode standard consiste à effectuer des divisions successives par $2$.

Commencez avec $45$ :

$$45 \div 2 = 22 \text{ reste } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ reste } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ reste } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ reste } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ reste } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ reste } 1$$

Lisez maintenant les restes de bas en haut :

$$101101$$

Donc

$$45_{10} = 101101_2$$

Vous pouvez le vérifier avec les valeurs de position :

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

La vérification rapide consiste à lister les puissances de $2$ marquées par $1$ : $32$, $8$, $4$ et $1$. Leur somme est $45$, donc la conversion est cohérente.

Pourquoi les restes se lisent à l'envers

Chaque étape de division donne le bit de poids faible suivant, c'est-à-dire le chiffre binaire le plus à droite. C'est pourquoi le premier reste se place à la fin, et non au début.

On peut voir le même résultat en construisant $45$ à partir des puissances de $2$. La plus grande puissance de $2$ qui convient est $32$, ce qui laisse $13$. Puis $8$ convient, ce qui laisse $5$. Ensuite $4$ convient, ce qui laisse $1$. Enfin, $1$ convient.

On obtient donc

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Ainsi, les chiffres correspondant à $2^5$, $2^3$, $2^2$ et $2^0$ valent $1$, tandis que les autres valent $0$. On retrouve donc encore $101101$.

Erreurs fréquentes

Lire les restes de haut en bas

Avec les divisions successives, il faut lire les restes de bas en haut. Les lire de haut en bas donne un mauvais nombre binaire.

Utiliser la méthode pour les entiers sur une fraction

La méthode de division par $2$ ci-dessus est faite pour les entiers positifs ou nuls. Si le nombre décimal d'origine a une partie fractionnaire, il faut un processus de conversion séparé pour cette partie fractionnaire.

Supposer que les fractions décimales se terminent toujours en binaire

Ce n'est pas le cas. Par exemple, certaines fractions décimales finies ont un développement binaire périodique. Un convertisseur décimal vers binaire peut donc afficher un résultat arrondi si l'entrée n'est pas un entier.

Quand utilise-t-on la conversion décimal vers binaire

Cette conversion apparaît en informatique, en électronique numérique, dans les tailles de stockage et dans la logique fondée sur les bits. Même si vous ne convertissez jamais des nombres à la main au travail, comprendre ce que signifient les chiffres rend les valeurs binaires moins obscures.

Elle est aussi utile pour lire des masques, des indicateurs ou des exemples de bas niveau où chaque bit représente un choix activé ou désactivé.

Entraînement rapide

Essayez de convertir $26$ en binaire avec le même processus de division par $2$. Vérifiez ensuite votre réponse en la développant en puissances de $2$. Si vous voulez aller un peu plus loin, comparez ce cas entier avec une fraction décimale et observez pourquoi la fraction demande une attention supplémentaire.