十进制转二进制转换器

要把十进制数转换成二进制，就不断除以 $2$，记录每一步的余数，再从下往上读取这些余数。对于非负整数，这是标准的手算方法；之所以可行，是因为二进制使用的是 $2$ 的幂，而不是 $10$ 的幂。

如果你在搜索十进制转二进制转换器，这就是你需要掌握的核心思路。每一位二进制数字都表示某个 $2$ 的幂是否被包含：$1$ 表示包含，$0$ 表示不包含。

例如，二进制数 $101101_2$ 表示

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

它等于

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

所以，十进制转二进制本质上就是把一个数改写成若干个 $2$ 的幂之和。

为什么十进制转二进制可行

在十进制中，各位依次是 $1$、$10$、$100$、$1000$，依此类推。在二进制中，各位是

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

因为二进制只有两个数字，所以每一位只能是 $0$ 或 $1$。$1$ 表示这个 $2$ 的幂被包含，$0$ 表示不包含。

这也是为什么二进制天然适合数字系统：每一位只有两种状态。

如何把 $45$ 从十进制转换成二进制

对于非负整数，标准方法是反复除以 $2$。

从 $45$ 开始：

$$45 \div 2 = 22 \text{ 余 } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ 余 } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ 余 } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ 余 } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ 余 } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ 余 } 1$$

现在从下往上读取余数：

$$101101$$

所以

$$45_{10} = 101101_2$$

你也可以用位值来验算：

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

快速检查的方法是列出所有标记为 $1$ 的 $2$ 的幂：$32$、$8$、$4$ 和 $1$。它们的和是 $45$，所以这个转换是正确的。

为什么要倒着读余数

每一步除法得到的都是下一个最低有效位，也就是最右边的二进制位。所以第一个余数应该放在最后，而不是最前面。

你也可以通过把 $45$ 表示成若干个 $2$ 的幂之和来看出同样的结果。能放进去的最大 $2$ 的幂是 $32$，还剩下 $13$。然后 $8$ 可以放进去，还剩下 $5$。接着 $4$ 可以放进去，还剩下 $1$。最后，$1$ 也可以放进去。

于是得到

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

所以，$2^5$、$2^3$、$2^2$ 和 $2^0$ 对应的位是 $1$，其余位是 $0$。这样又得到 $101101$。

常见错误

从上往下读取余数

使用反复除法时，余数要从下往上读。如果从上往下读，就会得到错误的二进制数。

把整数方法用于小数

上面的除以 $2$ 方法适用于非负整数。如果原来的十进制数有小数部分，那么这个小数部分需要单独使用另一种转换过程。

认为十进制小数在二进制中一定有限结束

并不是这样。例如，有些有限十进制小数在二进制中会变成循环展开。所以如果输入的不是整数，十进制转二进制转换器可能会显示近似结果。

什么时候会用到十进制转二进制

这种转换常见于计算机、数字电子、存储容量以及基于位的逻辑中。即使你在工作中从不手动转换数字，理解这些位代表什么，也能让二进制数不再那么难懂。

在读取掩码、标志位或底层示例时，它也很有用，因为其中每一位通常都表示一个开/关选择。

快速练习

试着用同样的除以 $2$ 过程把 $26$ 转成二进制。然后把结果展开成 $2$ 的幂来验算。如果你想再进一步，可以把这个整数例子和一个十进制小数进行比较，看看为什么小数部分需要额外处理。