10進数から2進数への変換

10進数を2進数に変換するには、$2$ で割って余りを記録し、その余りを下から上へ読みます。非負の整数に対しては、これが標準的な手計算の方法です。これは、2進数が $10$ の累乗ではなく $2$ の累乗を使うためです。

「10進数 2進数 変換」と検索したなら、まず押さえるべき考え方はこれです。2進数の各桁は、ある $2$ の累乗を含むかどうかを表します。$1$ なら含み、$0$ なら含みません。

たとえば、2進数 $101101_2$ は次を意味します。

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

これは

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

に等しくなります。

つまり、10進数から2進数への変換とは、数を $2$ の累乗の和として書き直すことだと考えられます。

なぜ10進数から2進数への変換が成り立つのか

10進数では、各位は $1$、$10$、$100$、$1000$ と続きます。2進数では、各位は次のようになります。

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

2進数で使える数字は2つだけなので、各位には $0$ か $1$ しか入りません。$1$ はその $2$ の累乗を使うことを意味し、$0$ は使わないことを意味します。

これが、2進数がデジタルシステムに自然に適している理由でもあります。各桁は2つの状態しか持たないからです。

$45$ を10進数から2進数に変換する方法

非負の整数では、標準的な方法は $2$ での繰り返し割り算です。

まず $45$ から始めます。

$$45 \div 2 = 22 \text{ remainder } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ remainder } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ remainder } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ remainder } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ remainder } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ remainder } 1$$

次に、余りを下から上へ読みます。

$$101101$$

したがって、

$$45_{10} = 101101_2$$

となります。

位の値を使って確かめることもできます。

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

手早い確認方法は、$1$ が立っている $2$ の累乗を並べることです。$32$、$8$、$4$、$1$ の合計は $45$ なので、変換結果は正しいとわかります。

なぜ余りを逆順に読むのか

各割り算の段階で得られるのは、最下位ビット、つまり一番右の2進数の桁です。だから最初の余りは先頭ではなく、最後に置かれます。

$45$ を $2$ の累乗の和として作る方法から見ても、同じ答えになります。入る最大の $2$ の累乗は $32$ で、残りは $13$ です。次に $8$ が入り、残りは $5$ です。さらに $4$ が入り、残りは $1$ です。最後に $1$ が入ります。

すると

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

となります。

したがって、$2^5$、$2^3$、$2^2$、$2^0$ の桁は $1$ で、それ以外は $0$ です。これでもやはり $101101$ になります。

よくある間違い

余りを上から下へ読んでしまう

繰り返し割り算では、余りは下から上へ読みます。上から下へ読むと、間違った2進数になります。

整数用の方法を小数にそのまま使う

上の $2$ で割る方法は、非負の整数のための方法です。元の10進数に小数部分がある場合は、その小数部分に対して別の変換手順が必要です。

10進小数は必ず2進数で有限になると思い込む

そうとは限りません。たとえば、有限小数の中にも、2進数では循環するものがあります。そのため、入力が整数でない場合、10進数から2進数への変換ツールでは丸められた結果が表示されることがあります。

10進数から2進数への変換を使う場面

この変換は、コンピュータ、デジタル回路、記憶容量、ビットに基づく論理などで登場します。仕事で手計算することがなくても、各桁の意味を知っていれば、2進数の値がずっと理解しやすくなります。

また、マスク、フラグ、あるいは各ビットがオン・オフの選択を表す低レベルの例を読むときにも役立ちます。

かんたん練習

同じ $2$ で割る手順で、$26$ を2進数に変換してみましょう。そのあと、$2$ の累乗に展開して答えを確かめてください。さらに一歩進めるなら、この整数の例と10進小数を比べて、小数部分に追加の注意が必要な理由を確認してみましょう。