Μετατροπέας Δεκαδικού σε Δυαδικό

Για να μετατρέψεις έναν δεκαδικό αριθμό σε δυαδικό, διαιρείς με το $2$, καταγράφεις κάθε υπόλοιπο και διαβάζεις τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω. Για μη αρνητικούς ακεραίους, αυτή είναι η τυπική χειροκίνητη μέθοδος και λειτουργεί επειδή το δυαδικό χρησιμοποιεί δυνάμεις του $2$ αντί για δυνάμεις του $10$.

Αν έψαξες για μετατροπέα δεκαδικού σε δυαδικό, αυτή είναι η βασική ιδέα που χρειάζεσαι. Κάθε δυαδικό ψηφίο δείχνει αν περιλαμβάνεται μια συγκεκριμένη δύναμη του $2$: το $1$ σημαίνει ναι και το $0$ σημαίνει όχι.

Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός $101101_2$ σημαίνει

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

που ισούται με

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

Άρα η μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό είναι ουσιαστικά η αναγραφή ενός αριθμού ως άθροισμα δυνάμεων του $2$.

Γιατί Λειτουργεί Η Μετατροπή Από Δεκαδικό Σε Δυαδικό

Στο δεκαδικό σύστημα, οι θέσεις είναι $1$, $10$, $100$, $1000$ και ούτω καθεξής. Στο δυαδικό σύστημα, οι θέσεις είναι

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\dots$$

Επειδή το δυαδικό έχει μόνο δύο ψηφία, κάθε θέση μπορεί να περιέχει μόνο $0$ ή $1$. Το $1$ σημαίνει ότι αυτή η δύναμη του $2$ περιλαμβάνεται. Το $0$ σημαίνει ότι δεν περιλαμβάνεται.

Γι’ αυτό και το δυαδικό ταιριάζει φυσικά στα ψηφιακά συστήματα: κάθε θέση έχει μόνο δύο καταστάσεις.

Πώς Να Μετατρέψεις Το $45$ Από Δεκαδικό Σε Δυαδικό

Για έναν μη αρνητικό ακέραιο, μια τυπική μέθοδος είναι η διαδοχική διαίρεση με το $2$.

Ξεκίνα με το $45$:

$$45 \div 2 = 22 \text{ remainder } 1$$ $$22 \div 2 = 11 \text{ remainder } 0$$ $$11 \div 2 = 5 \text{ remainder } 1$$ $$5 \div 2 = 2 \text{ remainder } 1$$ $$2 \div 2 = 1 \text{ remainder } 0$$ $$1 \div 2 = 0 \text{ remainder } 1$$

Τώρα διάβασε τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω:

$$101101$$

Άρα

$$45_{10} = 101101_2$$

Μπορείς να το ελέγξεις με τις τοπικές αξίες:

$$101101_2 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 45$$

Ο γρήγορος έλεγχος είναι να γράψεις τις δυνάμεις του $2$ που σημειώνονται με $1$: $32$, $8$, $4$ και $1$. Το άθροισμά τους είναι $45$, άρα η μετατροπή είναι σωστή.

Γιατί Τα Υπόλοιπα Διαβάζονται Αντίστροφα

Κάθε βήμα διαίρεσης δίνει το επόμενο λιγότερο σημαντικό bit, δηλαδή το δεξιότερο δυαδικό ψηφίο. Γι’ αυτό το πρώτο υπόλοιπο μπαίνει στο τέλος και όχι στην αρχή.

Μπορείς να δεις το ίδιο αποτέλεσμα και αν σχηματίσεις το $45$ από δυνάμεις του $2$. Η μεγαλύτερη δύναμη του $2$ που χωράει είναι το $32$, οπότε μένει $13$. Μετά χωράει το $8$, οπότε μένει $5$. Έπειτα χωράει το $4$, οπότε μένει $1$. Τέλος, χωράει το $1$.

Αυτό δίνει

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Άρα τα ψηφία για τα $2^5$, $2^3$, $2^2$ και $2^0$ είναι $1$, ενώ τα υπόλοιπα είναι $0$. Έτσι προκύπτει ξανά το $101101$.

Συνηθισμένα Λάθη

Ανάγνωση Των Υπολοίπων Από Πάνω Προς Τα Κάτω

Στη μέθοδο της διαδοχικής διαίρεσης, διαβάζεις τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω. Αν τα διαβάσεις από πάνω προς τα κάτω, θα πάρεις λάθος δυαδικό αριθμό.

Εφαρμογή Της Μεθόδου Ακεραίων Σε Κλάσμα

Η παραπάνω μέθοδος διαίρεσης με το $2$ είναι για μη αρνητικούς ακεραίους. Αν ο αρχικός δεκαδικός αριθμός έχει κλασματικό μέρος, χρειάζεσαι ξεχωριστή διαδικασία μετατροπής για αυτό το κλασματικό μέρος.

Η Υπόθεση Ότι Τα Δεκαδικά Κλάσματα Πάντα Τερματίζουν Στο Δυαδικό

Δεν ισχύει. Για παράδειγμα, μερικά πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα έχουν επαναλαμβανόμενη δυαδική ανάπτυξη. Άρα ένας μετατροπέας δεκαδικού σε δυαδικό μπορεί να εμφανίσει στρογγυλοποιημένο αποτέλεσμα αν η είσοδος δεν είναι ακέραιος.

Πότε Χρησιμοποιείς Τη Μετατροπή Από Δεκαδικό Σε Δυαδικό

Αυτή η μετατροπή εμφανίζεται στην πληροφορική, στα ψηφιακά ηλεκτρονικά, στα μεγέθη αποθήκευσης και στη λογική που βασίζεται σε bit. Ακόμα κι αν δεν μετατρέπεις ποτέ αριθμούς με το χέρι στη δουλειά, το να ξέρεις τι σημαίνουν τα ψηφία κάνει τις δυαδικές τιμές λιγότερο δυσνόητες.

Είναι επίσης χρήσιμη όταν διαβάζεις μάσκες, flags ή παραδείγματα χαμηλού επιπέδου όπου κάθε bit αντιστοιχεί σε μια επιλογή on/off.

Γρήγορη Εξάσκηση

Δοκίμασε να μετατρέψεις το $26$ σε δυαδικό με την ίδια διαδικασία διαίρεσης με το $2$. Έπειτα έλεγξε την απάντησή σου αναπτύσσοντάς την σε δυνάμεις του $2$. Αν θέλεις ένα ακόμη βήμα, σύγκρινε αυτή την περίπτωση ακεραίου με ένα δεκαδικό κλάσμα και παρατήρησε γιατί το κλάσμα χρειάζεται επιπλέον προσοχή.