ดอทโปรดักต์ — สูตร ความหมายเชิงเรขาคณิต และตัวอย่าง

ดอทโปรดักต์คือการนำเวกเตอร์สองตัวที่มีมิติเท่ากันมาคูณกัน แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนหนึ่งค่า ในรูปพิกัด

$$u = (u_1, u_2, \dots, u_n), \qquad v = (v_1, v_2, \dots, v_n),$$ $$u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n.$$

ในปริภูมิแบบยุคลิดตามปกติ จำนวนเดียวกันนี้ยังมีความหมายเชิงเรขาคณิตด้วย:

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta,$$

โดยที่ $\theta$ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ นั่นหมายความว่าดอทโปรดักต์ไม่ได้เป็นแค่สูตรสำหรับคำนวณเท่านั้น แต่ยังบอกได้ด้วยว่าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกันมากน้อยแค่ไหน

ดอทโปรดักต์บอกอะไรได้บ้าง

ดอทโปรดักต์ยังเรียกว่า scalar product เพราะคำตอบเป็นสเกลาร์ ไม่ใช่เวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง

ในปริภูมิยุคลิด เครื่องหมายของผลลัพธ์ช่วยบอกมุมได้อย่างรวดเร็ว ถ้าดอทโปรดักต์เป็นบวก แปลว่ามุมเป็นมุมแหลม ถ้าเป็นศูนย์ แปลว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกันเมื่อทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ และถ้าเป็นลบ แปลว่ามุมเป็นมุมป้าน

กรณีที่สำคัญมากกรณีหนึ่งคือการนำเวกเตอร์มาดอทกับตัวเอง:

$$u \cdot u = u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2.$$

ในปริภูมิยุคลิด ค่านี้เท่ากับ $|u|^2$ ดังนั้นจึงไม่สามารถติดลบได้ นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไม $u \cdot u$ มักถูกใช้ในการหาความยาวโดยไม่ต้องถอดรากที่สอง

วิธีคำนวณดอทโปรดักต์

ใช้สูตรพิกัดตาม 3 ขั้นตอนนี้:

1. เขียนเวกเตอร์ให้อยู่ในลำดับเดียวกัน และตรวจสอบว่ามีมิติเท่ากัน
2. คูณองค์ประกอบที่อยู่ตำแหน่งเดียวกัน
3. นำผลที่ได้มาบวกกัน

ไม่มีการสลับลำดับใด ๆ องค์ประกอบตัวแรกจับคู่กับตัวแรก ตัวที่สองจับคู่กับตัวที่สอง และทำต่อไปเรื่อย ๆ

ตัวอย่างการหาดอทโปรดักต์

จงหาดอทโปรดักต์ของ

$$u = (2, -1, 3), \qquad v = (4, 5, 1).$$

คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน:

$$2 \cdot 4 = 8, \qquad (-1) \cdot 5 = -5, \qquad 3 \cdot 1 = 3.$$

จากนั้นนำมาบวกกัน:

$$u \cdot v = 8 + (-5) + 3 = 6.$$

ดังนั้นดอทโปรดักต์คือ $6$

แล้วค่า $6$ บอกอะไรได้บ้าง? ในปริภูมิยุคลิด ผลลัพธ์ที่เป็นบวกบอกว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมแหลม แต่มันไม่ได้หมายความว่าเวกเตอร์เท่ากันหรือขนานกัน มันบอกเพียงว่าการซ้อนทับกันในเชิงทิศทางของทั้งสองเวกเตอร์เป็นบวก

ความหมายเชิงเรขาคณิตของดอทโปรดักต์

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ดอทโปรดักต์ใช้วัดว่าเวกเตอร์หนึ่งชี้ไปตามทิศของอีกเวกเตอร์มากแค่ไหน ถ้าเวกเตอร์ชี้ไปเกือบทางเดียวกัน ดอทโปรดักต์จะมีค่ามากและเป็นบวก ถ้าชี้ทำมุมฉากกัน ดอทโปรดักต์จะเป็น $0$ และถ้าชี้ไปคนละทางเป็นส่วนใหญ่ ดอทโปรดักต์จะเป็นลบ

สิ่งนี้มาจากสูตร

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta$$

เพราะพจน์ cosine เป็นตัวกำหนดทั้งเครื่องหมายและขนาดของค่า:

• $\cos\theta > 0$ สำหรับมุมแหลม ดังนั้นดอทโปรดักต์จึงเป็นบวก
• $\cos\theta = 0$ สำหรับมุมฉาก ดังนั้นดอทโปรดักต์จึงเป็น $0$
• $\cos\theta < 0$ สำหรับมุมป้าน ดังนั้นดอทโปรดักต์จึงเป็นลบ

การตีความในแง่มุมนี้ขึ้นอยู่กับดอทโปรดักต์แบบยุคลิดมาตรฐาน ถ้าคุณกำลังทำงานกับ inner product แบบอื่น ความหมายเชิงเรขาคณิตอาจเปลี่ยนไปได้ ดังนั้นภาพเรื่องมุมแบบที่คุ้นเคยจึงไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยอัตโนมัติ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับดอทโปรดักต์

ลืมตรวจสอบมิติก่อน

ดอทโปรดักต์มาตรฐานไม่ได้ถูกนิยามสำหรับเวกเตอร์ 2 มิติกับเวกเตอร์ 3 มิติ เวกเตอร์ทั้งสองต้องมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน

สับสนระหว่างดอทโปรดักต์กับการคูณองค์ประกอบต่อองค์ประกอบ

สำหรับ $(2,3)$ และ $(4,5)$ ดอทโปรดักต์คือ

$$2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23,$$

ไม่ใช่ $(8,15)$

คิดว่าผลลัพธ์เป็นบวกแปลว่าเวกเตอร์ขนานกันแน่นอน

ดอทโปรดักต์ที่เป็นบวกบอกได้เพียงว่ามุมเป็นมุมแหลมในปริภูมิยุคลิด เวกเตอร์หลายคู่ที่ต่างกันก็อาจมีดอทโปรดักต์เป็นบวกได้

ลืมเงื่อนไขของข้อความที่ว่า "$u \cdot v = 0$ แปลว่าตั้งฉากกัน"

ข้อความนี้เป็นจริงในปริภูมิยุคลิดมาตรฐาน ซึ่งเป็นบริบทที่โจทย์พื้นฐานส่วนใหญ่มักใช้ แต่เงื่อนไขนี้ก็ยังสำคัญอยู่เสมอ

ดอทโปรดักต์ถูกใช้ที่ไหน

ดอทโปรดักต์ปรากฏในสถานการณ์ที่ทิศทางมีความสำคัญ แต่คำตอบสุดท้ายควรเป็นเพียงจำนวนหนึ่งค่า

ในเรขาคณิต มันช่วยตรวจสอบการตั้งฉากและคำนวณมุม ในฟิสิกส์ มันปรากฏในสูตรอย่างงาน (work) ซึ่งนับเฉพาะองค์ประกอบของแรงที่อยู่ในทิศทางการเคลื่อนที่ ในพีชคณิตเชิงเส้นและคณิตศาสตร์ประยุกต์ มันยังปรากฏในเรื่องการฉาย แนวคิด least squares และการคำนวณความคล้ายกันอีกด้วย

ลองทำโจทย์ดอทโปรดักต์ที่คล้ายกัน

ลองพิจารณา

$$u = (1, 2, -2), \qquad v = (3, -1, 4).$$

คำนวณ $u \cdot v$ แล้วคำนวณ $u \cdot u$ ต่อ ค่าตัวที่สองนี้เป็นวิธีที่ดีในการดูว่าเหตุใดการนำเวกเตอร์มาดอทกับตัวเองจึงมีพฤติกรรมต่างจากดอทโปรดักต์ระหว่างเวกเตอร์คนละตัว