เวกเตอร์ — ขนาด ทิศทาง การบวก และดอทโปรดักต์

เวกเตอร์ใช้อธิบายทั้งขนาดและทิศทางพร้อมกัน ในรูปพิกัด เวกเตอร์อย่าง $v = (3, 4)$ หรือ $v = (2, -1, 5)$ บอกว่ามันเคลื่อนไปตามแต่ละแกนมากแค่ไหน จากองค์ประกอบเหล่านี้ คุณสามารถหาขนาด บวกเวกเตอร์ และคำนวณดอทโปรดักต์ได้

ถ้าจะจำแค่แนวคิดเดียว ให้จำข้อนี้ไว้: เวกเตอร์ไม่ได้มีแค่ความยาว ทิศทางเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณนี้ด้วย ดังนั้นการคำนวณจึงต้องรักษาทิศทางไว้เช่นกัน

เวกเตอร์ในพิกัดหมายถึงอะไร

สเกลาร์มีแค่ขนาดเท่านั้น อุณหภูมิ มวล และเวลา เป็นตัวอย่างของสเกลาร์ที่พบบ่อย ส่วนเวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง การกระจัด ความเร็ว และแรง เป็นตัวอย่างมาตรฐานของเวกเตอร์

ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เบื้องต้น เวกเตอร์มักเขียนเป็นลำดับขององค์ประกอบ ใน $2$ มิติ

$$v = (v_1, v_2)$$

และใน $3$ มิติ

$$v = (v_1, v_2, v_3).$$

จำนวนองค์ประกอบมีความสำคัญ คุณจะบวกเวกเตอร์โดยตรง หรือหาดอทโปรดักต์แบบมาตรฐานได้ ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อยู่ในมิติเดียวกัน

วิธีหาขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์คือความยาวของมัน ในกรณีแบบยุคลิดทั่วไป ขนาดของ $v = (v_1, v_2)$ คือ

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2\}$$

และสำหรับ $v = (v_1, v_2, v_3)$ จะเป็น

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2\}.$$

นี่คือแนวคิดพีทาโกรัสในรูปของเวกเตอร์ ขนาดบอกว่าเวกเตอร์ยาวแค่ไหน ส่วนเครื่องหมายและขนาดสัมพัทธ์ขององค์ประกอบช่วยกำหนดทิศทางของมัน

ข้อควรระวังอย่างหนึ่งคือ เวกเตอร์ศูนย์มีขนาดเป็น $0$ แต่ไม่ได้ชี้ไปในทิศทางเฉพาะเพียงทิศทางเดียว

การบวกเวกเตอร์ทำงานอย่างไร

การบวกเวกเตอร์ ให้บวกองค์ประกอบที่ตรงกัน:

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2).$$

ผลลัพธ์ยังคงเป็นเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง ซึ่งสำคัญมาก เพราะผลบวกยังมีทั้งขนาดและทิศทาง

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมโดยทั่วไปคุณจึงไม่สามารถบวกแค่ขนาดได้ ถ้าเวกเตอร์สองตัวชี้คนละทิศ ผลรวมของมันขึ้นอยู่กับทั้งสองทิศทาง ไม่ใช่แค่ตัวเลขมีขนาดเท่าไร

ดอทโปรดักต์บอกอะไรได้บ้าง

ดอทโปรดักต์นำเวกเตอร์สองตัวที่มีมิติเท่ากันมาคำนวณ แล้วให้ผลเป็นสเกลาร์:

$$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n.$$

ค่านี้บอกว่าเวกเตอร์ทั้งสองไปในแนวเดียวกันมากน้อยแค่ไหน ในกรณีแบบยุคลิดทั่วไป ยังมีความสัมพันธ์ว่า

$$a \cdot b = |a||b|\cos(\theta),$$

โดยที่ $\theta$ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

สูตรนี้ช่วยให้ตีความได้อย่างรวดเร็ว:

• ถ้า $a \cdot b > 0$ มุมเป็นมุมแหลม
• ถ้า $a \cdot b = 0$ และเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน
• ถ้า $a \cdot b < 0$ มุมเป็นมุมป้าน

การตีความด้วยมุมนี้ขึ้นอยู่กับดอทโปรดักต์แบบยุคลิดมาตรฐาน ซึ่งเป็นรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ระดับเริ่มต้น

ตัวอย่างทำครบ: ขนาด การบวก และดอทโปรดักต์

ให้

$$a = (3, 4), \qquad b = (4, -3).$$

เริ่มจากหาขนาด สำหรับ $a$,

$$|a| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

สำหรับ $b$,

$$|b| = \sqrt\{4^2 + (-3)^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แม้ว่าจะชี้ไปคนละทิศทาง

ต่อไปบวกกัน:

$$a + b = (3 + 4,\ 4 + (-3)) = (7, 1).$$

ผลบวกคือเวกเตอร์ตัวใหม่ ไม่ใช่จำนวน $10$ ขนาดของมันคือ

$$|a + b| = \sqrt\{7^2 + 1^2\} = \sqrt\{50\}.$$

ตอนนี้คำนวณดอทโปรดักต์:

$$a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0.$$

เพราะดอทโปรดักต์เป็น $0$ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์คู่นี้จึงตั้งฉากกันในระนาบแบบยุคลิดทั่วไป ตัวอย่างเดียวนี้แสดงรูปแบบหลักได้ชัดเจน:

• ขนาดใช้วัดความใหญ่
• การบวกสร้างเวกเตอร์ตัวใหม่
• ดอทโปรดักต์ใช้วัดความสอดคล้องของทิศทาง

ข้อผิดพลาดเรื่องเวกเตอร์ที่พบบ่อย

บวกขนาดแทนที่จะบวกเวกเตอร์

การบวก $|a| + |b|$ ไม่เหมือนกับการหา $|a + b|$ ทั้งสองอย่างเป็นปริมาณคนละแบบ ยกเว้นในกรณีที่เวกเตอร์ชี้ไปทิศทางเดียวกัน

มองข้ามเงื่อนไขว่าต้องอยู่ในมิติเดียวกัน

คุณไม่สามารถบวกเวกเตอร์ $2$ มิติกับเวกเตอร์ $3$ มิติได้โดยตรง และก็ไม่สามารถหาดอทโปรดักต์แบบมาตรฐานระหว่างคู่นี้ได้เช่นกัน

สับสนระหว่างดอทโปรดักต์กับการคูณด้วยจำนวน

ดอทโปรดักต์ให้ผลเป็นสเกลาร์หนึ่งค่า ไม่ได้ให้เวกเตอร์ตัวใหม่

ใช้กฎเรื่องมุมโดยไม่อยู่ในบริบทที่ถูกต้อง

สูตรขนาดและการตีความดอทโปรดักต์เชิงเรขาคณิตข้างต้น ตั้งอยู่บนสมมติฐานของกรณีแบบยุคลิดทั่วไป นี่เป็นบริบทมาตรฐานในวิชาเบื้องต้นส่วนใหญ่ แต่ก็ยังเป็นเงื่อนไขที่ต้องมี

เวกเตอร์ถูกใช้ที่ไหนบ้าง

เวกเตอร์ปรากฏในทุกที่ที่ทิศทางมีความสำคัญ ในเรขาคณิต เวกเตอร์ช่วยอธิบายจุด เส้น การฉาย และมุม ในฟิสิกส์ เวกเตอร์ใช้กับการกระจัด ความเร็ว ความเร่ง และแรง ส่วนในวิศวกรรมและกราฟิก เวกเตอร์ช่วยแทนการเคลื่อนที่ การวางแนว และการเปลี่ยนแปลงในอวกาศ

คุณไม่จำเป็นต้องเรียนพีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูงก่อน จึงจะเริ่มใช้เวกเตอร์ได้ดี สำหรับหลายโจทย์ สิ่งที่ต้องทำมีเพียง: เขียนองค์ประกอบให้ถูก ใช้การดำเนินการที่เหมาะสม และตีความผลลัพธ์ให้ถูกต้อง

ลองทำโจทย์เวกเตอร์ที่คล้ายกัน

เปลี่ยนตัวอย่างเป็น $a = (2, 1)$ และ $b = (1, 2)$ หาขนาดของเวกเตอร์แต่ละตัว บวกเวกเตอร์ทั้งสอง และคำนวณดอทโปรดักต์ จากนั้นตัดสินว่ามุมระหว่างมันเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

ถ้าคุณอยากตรวจคำตอบแบบเร็ว ๆ ให้ลองทำคู่นี้ด้วยมือก่อน แล้วค่อยเปรียบเทียบกับตัวแก้โจทย์ วิธีนี้ช่วยให้จับความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายและการสลับองค์ประกอบได้ง่ายขึ้น