ค่าสัมบูรณ์ — นิยามและสมบัติ

ค่าสัมบูรณ์หมายถึงระยะห่างจาก $0$ บนเส้นจำนวน สำหรับจำนวนจริง จึงทำให้ $|x|$ เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบเสมอ

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ $|5| = 5$ และ $|-5| = 5$ จำนวนทั้งสองอยู่คนละด้านของ $0$ แต่มีระยะห่างจาก $0$ เท่ากัน

นิยามของค่าสัมบูรณ์

สำหรับจำนวนจริง $x$

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

นี่ไม่ได้หมายความว่าค่าสัมบูรณ์ “ทำให้ทุกอย่างเป็นบวก” แต่มันคงค่าของจำนวนที่ไม่ติดลบไว้เหมือนเดิม และเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวนลบ

มองค่าสัมบูรณ์เป็นระยะทาง

ภาพจำที่ดีที่สุดคือเรื่องระยะทาง เมื่อคุณเห็น $|x|$ ให้นึกว่า “ระยะห่างจาก $x$ ถึง $0$”

แนวคิดเดียวกันนี้ใช้อธิบายนิพจน์อย่าง $|a-b|$ ได้ด้วย ซึ่งก็คือระยะห่างระหว่าง $a$ และ $b$ บนเส้นจำนวน

ตัวอย่างเช่น

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

ดังนั้นระยะห่างระหว่าง $2$ และ $7$ คือ $5$

สมบัติสำคัญของค่าสัมบูรณ์

นี่คือสมบัติที่คุณจะใช้บ่อยที่สุด

1. $|x| \ge 0$ สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน $x$
2. $|x| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $x = 0$
3. $|-x| = |x|$
4. $|ab| = |a||b|$ สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$
5. ถ้า $b \ne 0$ แล้ว $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$

เงื่อนไข $b \ne 0$ สำคัญในสมบัติข้อสุดท้าย เพราะการหารด้วย $0$ ไม่มีนิยาม

ตัวอย่างวิธีทำ: แก้สมการ $|x - 3| = 5$

สมการนี้ถามหาจำนวนที่มีระยะห่างจาก $3$ เท่ากับ $5$

ถ้าจำนวนนั้นอยู่ทางขวาของ $3$ เป็นระยะ $5$ หน่วย จะได้ว่า

$$x - 3 = 5$$

ดังนั้น

$$x = 8$$

ถ้าจำนวนนั้นอยู่ทางซ้ายของ $3$ เป็นระยะ $5$ หน่วย จะได้ว่า

$$x - 3 = -5$$

ดังนั้น

$$x = -2$$

ดังนั้นคำตอบคือ

$$x = 8 \quad \text{หรือ} \quad x = -2$$

แนวคิดแบบแยกเป็นสองกรณีนี้คือรูปแบบสำคัญที่ควรจำไว้ ถ้า $|u| = k$ และ $k > 0$ ให้แก้ทั้งกรณี $u = k$ และ $u = -k$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือคิดว่า $|x|$ อาจเป็นจำนวนลบได้ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ สำหรับจำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์มีค่าอย่างน้อย $0$ เสมอ

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือแก้เพียงกรณีเดียว ในตัวอย่างข้างบน ถ้าหยุดที่ $x = 8$ ก็จะพลาดอีกจุดหนึ่งที่อยู่ห่างจาก $3$ เท่ากับ $5$ หน่วยเช่นกัน

นักเรียนยังมักสับสนระหว่าง $|-x|$ กับ $-|x|$ ซึ่งไม่เหมือนกัน จริง ๆ แล้ว $|-x| = |x|$ แต่ $-|x|$ จะมีค่าเป็นศูนย์หรือติดลบ

ค่าสัมบูรณ์ใช้เมื่อไร

ค่าสัมบูรณ์ปรากฏขึ้นเมื่อขนาดสำคัญกว่าทิศทาง

คุณจะเห็นมันในเรื่องระยะทางบนเส้นจำนวน ค่าคลาดเคลื่อนหรือความเบี่ยงเบนจากค่าเป้าหมาย สมการและอสมการ รวมถึงสูตรที่ต้องการเก็บไว้เฉพาะขนาดเท่านั้น ในคณิตศาสตร์ระดับต่อไป ค่าสัมบูรณ์ยังปรากฏในเรขาคณิตวิเคราะห์ แคลคูลัส และจำนวนเชิงซ้อน แม้ว่าความหมายที่แน่นอนจะขึ้นอยู่กับบริบท

วิธีเช็กเร็วสำหรับสมการแบบ $|u| = k$

ถ้าคุณเห็นสมการแบบ $|u| = k$ ให้ดูด้านขวาก่อน

ถ้า $k < 0$ จะไม่มีคำตอบในจำนวนจริง เพราะค่าสัมบูรณ์ไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้ ถ้า $k = 0$ ค่าภายในต้องเป็น $0$ และถ้า $k > 0$ โดยทั่วไปจะมีสองกรณี เว้นแต่ทั้งสองกรณีจะให้ค่าเดียวกัน

ลองทำโจทย์ค่าสัมบูรณ์ที่คล้ายกัน

ลองแก้สมการ $|x + 4| = 9$ อ่านว่า “ระยะห่างจาก $-4$ เท่ากับ $9$” แล้วเขียนสองกรณีที่สอดคล้องกัน ถ้าคุณอยากตรวจคำตอบหลังจากทำเสร็จ ให้แทนคำตอบทั้งสองกลับเข้าไปในสมการเดิม