Nilai Mutlak — Definisi dan Sifat-Sifat

Nilai mutlak berarti jarak dari $0$ pada garis bilangan. Untuk bilangan real, itu membuat $|x|$ selalu tidak negatif.

Itulah sebabnya $|5| = 5$ dan $|-5| = 5$. Kedua bilangan itu berada di sisi yang berlawanan dari $0$, tetapi jaraknya dari $0$ sama.

Definisi Nilai Mutlak

Untuk suatu bilangan real $x$,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Ini tidak berarti nilai mutlak "membuat semuanya menjadi positif." Nilai mutlak membiarkan bilangan yang tidak negatif tetap seperti semula dan mengubah tanda bilangan negatif.

Bayangkan Sebagai Jarak

Model mental terbaik adalah jarak. Jika Anda melihat $|x|$, pikirkan "jarak dari $x$ ke $0$."

Gagasan yang sama juga menjelaskan bentuk seperti $|a-b|$. Itu adalah jarak antara $a$ dan $b$ pada garis bilangan.

Sebagai contoh,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

jadi jarak antara $2$ dan $7$ adalah $5$.

Sifat-Sifat Penting Nilai Mutlak

Inilah sifat-sifat yang paling sering digunakan:

1. $|x| \ge 0$ untuk setiap bilangan real $x$.
2. $|x| = 0$ hanya jika $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ untuk bilangan real $a$ dan $b$.
5. Jika $b \ne 0$, maka $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

Syarat $b \ne 0$ penting pada sifat terakhir karena pembagian dengan $0$ tidak terdefinisi.

Contoh: Selesaikan $|x - 3| = 5$

Persamaan ini meminta bilangan-bilangan yang jaraknya dari $3$ adalah $5$.

Jika suatu bilangan berada $5$ satuan di sebelah kanan $3$, maka

$$x - 3 = 5$$

sehingga

$$x = 8$$

Jika suatu bilangan berada $5$ satuan di sebelah kiri $3$, maka

$$x - 3 = -5$$

sehingga

$$x = -2$$

Jadi, penyelesaiannya adalah

$$x = 8 \quad \text{atau} \quad x = -2$$

Gagasan dua kasus ini adalah pola utama yang perlu diingat. Jika $|u| = k$ dan $k > 0$, selesaikan kedua-duanya: $u = k$ dan $u = -k$.

Kesalahan Umum pada Nilai Mutlak

Salah satu kesalahan yang umum adalah mengira $|x|$ bisa bernilai negatif. Itu tidak mungkin. Untuk bilangan real, nilai mutlak selalu paling sedikit $0$.

Kesalahan umum lainnya adalah hanya menyelesaikan satu kasus. Pada contoh di atas, berhenti di $x = 8$ berarti melewatkan titik kedua yang juga berjarak $5$ satuan dari $3$.

Siswa juga sering tertukar antara $|-x|$ dan $-|x|$. Keduanya tidak sama. Faktanya, $|-x| = |x|$, tetapi $-|x|$ bernilai nol atau negatif.

Kapan Nilai Mutlak Digunakan

Nilai mutlak muncul ketika besar lebih penting daripada arah.

Anda akan menemukannya pada jarak di garis bilangan, galat atau penyimpangan dari target, persamaan dan pertidaksamaan, serta rumus yang hanya mempertahankan besarannya. Dalam matematika lanjutan, nilai mutlak juga muncul dalam geometri koordinat, kalkulus, dan bilangan kompleks, meskipun makna tepatnya bergantung pada konteks.

Pemeriksaan Cepat untuk Persamaan Seperti $|u| = k$

Jika Anda melihat persamaan seperti $|u| = k$, periksa ruas kanan terlebih dahulu.

Jika $k < 0$, tidak ada solusi real karena nilai mutlak tidak dapat sama dengan bilangan negatif. Jika $k = 0$, maka bagian di dalam nilai mutlak harus bernilai $0$. Jika $k > 0$, biasanya ada dua kasus kecuali keduanya menghasilkan nilai yang sama.

Coba Soal Nilai Mutlak yang Mirip

Coba selesaikan $|x + 4| = 9$. Bacalah sebagai "jarak dari $-4$ adalah $9$," lalu tuliskan dua kasus yang sesuai. Jika ingin memeriksa jawaban Anda setelah selesai, substitusikan kedua jawaban itu kembali ke persamaan semula.