絶対値とは？定義と性質

絶対値とは、数直線上で $0$ からどれだけ離れているかを表すものです。実数に対しては、$|x|$ は常に $0$ 以上になります。

そのため、$|5| = 5$ であり、$|-5| = 5$ です。これらの数は $0$ の反対側にありますが、$0$ からの距離は同じです。

絶対値の定義

実数 $x$ に対して、

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

となります。

これは、絶対値が「何でも正の数にする」という意味ではありません。$0$ 以上の数はそのままで、負の数だけ符号を変えます。

距離として考える

いちばんわかりやすい考え方は、距離としてとらえることです。$|x|$ を見たら、「$x$ から $0$ までの距離」と考えましょう。

同じ考え方で、$|a-b|$ のような式も説明できます。これは数直線上での $a$ と $b$ の間の距離です。

たとえば、

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

なので、$2$ と $7$ の距離は $5$ です。

絶対値の基本性質

よく使う性質は次のとおりです。

1. 任意の実数 $x$ について、$|x| \ge 0$。
2. $|x| = 0$ となるのは $x = 0$ のときだけ。
3. $|-x| = |x|$。
4. 実数 $a$, $b$ について、$|ab| = |a||b|$。
5. $b \ne 0$ なら、$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$。

最後の性質では $b \ne 0$ という条件が重要です。$0$ で割ることは定義されていないからです。

例題：$|x - 3| = 5$ を解く

この方程式は、$3$ からの距離が $5$ である数を求める問題です。

ある数が $3$ の右に $5$ だけあるなら、

$$x - 3 = 5$$

したがって、

$$x = 8$$

となります。

ある数が $3$ の左に $5$ だけあるなら、

$$x - 3 = -5$$

したがって、

$$x = -2$$

となります。

よって、解は

$$x = 8 \quad \text{or} \quad x = -2$$

です。

このように2つの場合に分ける考え方が、いちばん大切なパターンです。$|u| = k$ で $k > 0$ のときは、$u = k$ と $u = -k$ の両方を解きます。

絶対値でよくあるミス

よくあるミスの1つは、$|x|$ が負になると思ってしまうことです。これは誤りです。実数では、絶対値は常に $0$ 以上です。

もう1つのよくあるミスは、場合分けを1つしか考えないことです。上の例で $x = 8$ だけで止めると、$3$ から同じく $5$ 離れたもう1つの点を見落としてしまいます。

また、$|-x|$ と $-|x|$ を混同する人もいます。これらは同じではありません。実際、$|-x| = |x|$ ですが、$-|x|$ は $0$ 以下です。

絶対値が使われる場面

絶対値は、向きよりも大きさが重要なときに現れます。

数直線上の距離、目標値からの誤差やずれ、方程式や不等式、向きを無視して大きさだけを残したい公式などで使われます。さらに数学が進むと、座標幾何、微積分、複素数でも登場しますが、正確な意味は場面によって少し変わります。

$|u| = k$ 型の方程式の確認ポイント

$|u| = k$ のような方程式を見たら、まず右辺を確認しましょう。

$k < 0$ なら、絶対値が負の数になることはないので実数解はありません。$k = 0$ なら、中身が $0$ でなければなりません。$k > 0$ なら、2つの場合を考えるのが基本です。ただし、両方の場合が同じ値になることもあります。

似た絶対値の問題に挑戦

$|x + 4| = 9$ を解いてみましょう。これは「$-4$ からの距離が $9$」と読めます。そこから対応する2つの場合を書いてください。解けたら、両方の答えを元の方程式に代入して確かめてみましょう。